Головна

Лекція 11.

  1. Базова лекція
  2. Базова лекція
  3. Базова лекція
  4. Базова лекція
  5. Базова лекція
  6. Базова лекція
  7. Базова лекція

Умовним законом розподілу однієї випадкової величини, що входить в систему, називається закон, знайдений за умови, що інша випадкова величина, що входить в цю ж систему, прийняла певне значення. Умовний закон розподілу задається як функцією розподілу, так і щільністю розподілу. Якщо розглядається розподіл випадкової величини ?iза умови, що інша випадкова величина ?jприйняла певне значення, то умовна функція розподілу позначається

F (x / y), а щільність - f (x / y).

Важливими характеристиками є умовні математичні очікування і умовні дисперсії. Нехай випадкова величина ?iпрінімаетзначенія

a = (  ), А випадкова величина ?j - B = (  ).

Умовним математичним очікуванням діскретнойслучайной величини?iпри?j= Bназивают суму творів можливих значень ?iна їх умовні ймовірності . Тоді умовне математичне сподівання обчислюється за формулою:

M (?i / ?j= B) =  . (27)

Для безперервних випадкових величин

M (?i / ?j= B) =  . (28)

Особлива роль у вивченні системи випадкових величин належить корреляционному моменту (ковариации). ковариацию випадкових величин ?i и ?j називається число

 = Cov (?i?j) = M ((?i-M (?i)) (?j-M (?j))) = M (?i?j) -M (?i) M (?j), I, j = 1,2, ... n.

Для незалежних випадкових величин ковариация дорівнює нулю тому в цьому випадку M (?i?j ) = M (?i) M (?j).

Очевидно, що = = D (  ), Cov (?i?j) = Cov (? ? )

Всі парні коваріації складають симетричну відносно головної діагоналі ковариационную матрицю розмірністю (n n).

=

Визначник ковариационной матриці є узагальненою дисперсією системи випадкових величин ..

Розглянемо систему тільки двох випадкових величин, нехай ?1, ?2. Нехай випадкова величина ?1приймає значення з множини X, ?2 -з безлічі Y, (X, Y) дійсний числа. Мірою лінійної залежності двох випадкових величин ?1, ?2 є коефіцієнт кореляції

,

Властивості коефіцієнта кореляції:

1. | ? | .

2. | ? | = 1 тоді і тільки тоді, коли між випадковими величинами існує

лінійна функціональна взаємозв'язок

y = ах + b, (29)

де ,

причому, якщо ? = 1, то a> 0, якщо ? = -1, то a <0 (Рис. 15)

 
 


Мал. 15.

Для незалежних випадкових величин ? = 0, але зворотне твердження не так, тому що між випадковими величинами може бути інший тип взаємозв'язку (нелінійної) .Чем ближче значення ? до нуля, то менше лінійна взаємозв'язок, чим ближче по модулю до одиниці, тим -сильніше. Якщо ? = 0, то говорять, що випадкові величини некорреліровани. Можна показати, що якщо нормально розподілені випадкові величини некорреліровани, то вони і незалежні.

Нехай -1

.

.

.

.

.

Мал. 16.

Рівняння, щодо якого дисперсія мінімальна, називається рівнянням регресії. Розглядаючи дисперсію як функцію від двох змінних a і b скористаємося необхідною умовою екстремуму

Вирішуючи цю систему відносно a і b, отримаємо

,  , Рівняння регресії - у =  (Рис.16),

при цьому дисперсія  , І вона є мінімальною.

Таким чином, рівняння регресії у =  , Дає найкраще лінійне уявлення ?2 по?1.

Кількісною характеристикою нелінійної взаємозв'язку випадкових величин ?1, ?2 є кореляційне відношення. Коефіцієнт кореляційного відносини ?2по?1 обчислюється за формулою:

 , (30)

де  - Умовна дисперсія, яка характеризує розсіювання ?2біля умовної математичного очікування .

Властивості кореляційного відносини:

1. .

2. ? = 0 відповідає некорреліровани випадковим величинам.

3. ? = 1, тоді і тільки тоді, коли має місце функціональна залежність між ?1 и?2 . У разі лінійної залежності ?2від?1 кореляційне відношення збігається з квадратом коефіцієнта кореляції.

Кореляційне відношення несиметрично щодо ?1 и?2, Тому поряд з  розглядається  , Яке визначається аналогічним чином. між и  немає будь-якої простої залежності.

Тепер розглянемо сукупність n-випадкових величин  .Можно Обчислити коефіцієнти кореляції ?ij між кожною парою випадкових величин. Вони складуть кореляційну матрицю

?ij= ?ji, I ? j тобто матриця симетрична щодо головної діагоналі.

Взаємозв'язок будь-якої випадкової величини ?i з усіма іншими випадковими величинами характеризується множинним коефіцієнтом кореляції

 (31)

| R | - Визначник матриці R,

Rjj - Алгебраїчне доповнення, відповідне елементу кореляційної матриці ?jj,

.



Попередня   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   Наступна

Лекція 5. Формула повної ймовірності. | Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі. | Лекція 6. Найімовірніше число появ події. | Визначення випадкової величини. | Функція розподілу. | Математичне очікування. | Приклади дискретних розподілів. | Щільність розподілу. | Приклади розподілів неперервної випадкової величини. | центральні моменти |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати