загрузка...
загрузка...
На головну

Приклади розподілів неперервної випадкової величини.

  1. I. Приклади деяких розподілів дискретних випадкових величин
  2. V. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ.
  3. АНАЛІЗ одномірні розподіли
  4. Величини. Порівняння. Вимірювання
  5. Величини. Еластичність пропозиції.
  6. Ось приклади ситуацій другого типу.
  7. г) Приклади розв'язання задачі.

1. Рівномірний розподіл.  Випадкова величина x безперервного типу називається розподіленої рівномірно на відрізку [a, b], якщо її щільність розподілу постійна на цьому відрізку:

f (x) =  (9)

Обчислимо математичне сподівання і дисперсію: ,

=

Розглянуте в Прімері 13 розподіл є рівномірним при a = 0

і b = 1.

2. Показовий (експоненційний) розподіл:

Випадкова величина x називається розподіленою по показовому (експоненціального) Закону з параметром  > 0, якщо вона безперервного типу

і її щільність розподілу задається формулою

f (x) =  (10)

Графік функції наведено на Рис.11.

Мал. 11.

Математичне сподівання і дисперсія відповідно рівні:

M (x) = , D (x) =

3. Закон нормального розподілу.

Випадкова величина називається розподіленою за нормальним законом з параметрами аи  > 0, якщо щільність розподілу ймовірностей має вигляд

f (x) = , (11)

Для того, щоб побудувати графік цієї функції, проведемо її дослідження. обчислимо похідну

.

При x < a  > 0, отже на інтервалі  функція зростає, а при x>a  <0, - функція спадає. У точці x = a- Функція має максимум.

Графік функції наведено на Рис.12.

Важливе значення в прикладних задачах має окремий випадок щільності нормального розподілу при a = 0 і  = 1

 . (12) Функція (12) - парна, тобто  (-x) =  (X).

Для значень цієї функції є таблиці (Додаток 1).

Мал. 12

Обчислимо математичне сподівання і дисперсію:

; ; .

При обчисленні інтегралів використані властивості:

1)  = 0, як інтеграл від непарної функції в симетричних межах;

2)  = 1, як інтеграл від щільності нормального розподілу з параметрами a= 0 і  = 1 (властивість 2 функції щільності розподілу).

Аналогічно можна показати, що D (x) = 2 . параметри a и  збігаються з основними характеристиками розподілу. Надалі, якщо щільність розподілу випадкової величини має вигляд (11), то для стислості будемо записувати x ~ N (  ).

Ймовірність влучення випадкової величини x в інтервал  обчислюється за формулою (13)

, (13)

де  - Функція Лапласа

 , (14)

функція нормального розподілу N (0,1),

для цієї функції є таблиці (Додаток 2). Відмітимо, що

Ф (-x) = 1 - Ф (x) (15)

Приклад 14. Коробки з шоколадом упаковують автоматіческі.Іх середня маса дорівнює 1,06 кг. Відомо, що 5% коробок мають масу менше 1 кг. Який відсоток коробок, маса яких перевищує 940 м (вага коробок розподілений нормально)?

З умови задачі параметр а = 1,06, параметр  -неізвестен.

Розглянемо випадкову величину x - маса коробок. потрібно визначити

p (x> 0,94), тобто p (x> 0,94) = p (0,94

З таблиці Додатка2визначимо ,за формулою (14) маємо

 = 1  , тоді

p (0,94  1-1 + = .

Параметр ? знайдемо з умови р (x <1) = 0,5

тобто 1  звідки отримаємо  ) = 0,95.

По таблиці Додатка 3 визначимо  = 1,645, тоді з рівності

 знайдемо значення  . остаточно отримаємо

.

4.розподіл Парето

Розподіл Парето використовується при вивченні розподілу доходів, що перевищують певний пороговий рівень x0.

f (x) = x0 ? > 0, х0 > 0 - параметри розподілу.,

M (?) =  , D (?) = .

 



Попередня   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   Наступна

Алгебра подій. | Лекція 3. | Умовні ймовірності. Незалежність подій. | Лекція 5. Формула повної ймовірності. | Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі. | Лекція 6. Найімовірніше число появ події. | Визначення випадкової величини. | Функція розподілу. | Математичне очікування. | Приклади дискретних розподілів. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати