Головна |
1. Рівномірний розподіл. Випадкова величина x безперервного типу називається розподіленої рівномірно на відрізку [a, b], якщо її щільність розподілу постійна на цьому відрізку:
f (x) = (9)
Обчислимо математичне сподівання і дисперсію: ,
=
Розглянуте в Прімері 13 розподіл є рівномірним при a = 0
і b = 1.
2. Показовий (експоненційний) розподіл:
Випадкова величина x називається розподіленою по показовому (експоненціального) Закону з параметром > 0, якщо вона безперервного типу
і її щільність розподілу задається формулою
f (x) = (10)
Графік функції наведено на Рис.11.
Мал. 11.
Математичне сподівання і дисперсія відповідно рівні:
M (x) = , D (x) =
3. Закон нормального розподілу.
Випадкова величина називається розподіленою за нормальним законом з параметрами аи > 0, якщо щільність розподілу ймовірностей має вигляд
f (x) = , (11)
Для того, щоб побудувати графік цієї функції, проведемо її дослідження. обчислимо похідну
.
При x < a > 0, отже на інтервалі функція зростає, а при x>a <0, - функція спадає. У точці x = a- Функція має максимум.
Графік функції наведено на Рис.12.
Важливе значення в прикладних задачах має окремий випадок щільності нормального розподілу при a = 0 і = 1
. (12) Функція (12) - парна, тобто (-x) = (X).
Для значень цієї функції є таблиці (Додаток 1).
Мал. 12
Обчислимо математичне сподівання і дисперсію:
; ; .
При обчисленні інтегралів використані властивості:
1) = 0, як інтеграл від непарної функції в симетричних межах;
2) = 1, як інтеграл від щільності нормального розподілу з параметрами a= 0 і = 1 (властивість 2 функції щільності розподілу).
Аналогічно можна показати, що D (x) = 2 . параметри a и збігаються з основними характеристиками розподілу. Надалі, якщо щільність розподілу випадкової величини має вигляд (11), то для стислості будемо записувати x ~ N ( ).
Ймовірність влучення випадкової величини x в інтервал обчислюється за формулою (13)
, (13)
де - Функція Лапласа
, (14)
функція нормального розподілу N (0,1),
для цієї функції є таблиці (Додаток 2). Відмітимо, що
Ф (-x) = 1 - Ф (x) (15)
Приклад 14. Коробки з шоколадом упаковують автоматіческі.Іх середня маса дорівнює 1,06 кг. Відомо, що 5% коробок мають масу менше 1 кг. Який відсоток коробок, маса яких перевищує 940 м (вага коробок розподілений нормально)?
З умови задачі параметр а = 1,06, параметр -неізвестен.
Розглянемо випадкову величину x - маса коробок. потрібно визначити
p (x> 0,94), тобто p (x> 0,94) = p (0,94 З таблиці Додатка2визначимо ,за формулою (14) маємо = 1 , тоді p (0,94 Параметр ? знайдемо з умови р (x <1) = 0,5 тобто 1 звідки отримаємо ) = 0,95. По таблиці Додатка 3 визначимо = 1,645, тоді з рівності знайдемо значення . остаточно отримаємо . 4.розподіл Парето Розподіл Парето використовується при вивченні розподілу доходів, що перевищують певний пороговий рівень x0. f (x) = x0 M (?) = , D (?) = . Алгебра подій. | Лекція 3. | Умовні ймовірності. Незалежність подій. | Лекція 5. Формула повної ймовірності. | Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі. | Лекція 6. Найімовірніше число появ події. | Визначення випадкової величини. | Функція розподілу. | Математичне очікування. | Приклади дискретних розподілів. |