На головну

Математичне очікування.

  1. Динамічна модель АД в змінних стану. Математичний опис узагальненої асинхронної машини
  2. Лекція 6. Математичне, програмне та інформаційне забезпечення нових інформаційних технологій (НІТ)
  3. Математичне і програмне забезпечення
  4. Математичне і програмне забезпечення інформаційних систем
  5. Математичне моделювання в екології
  6. Математичне очікування
  7. Математичне сподівання дискретної випадкової величини

Випадкові величини крім законів розподілу можуть описуватися також числовими характеристиками .

математичним очікуванням М (x) випадкової величини називається її середнє значення.

Математичне сподівання дискретної випадкової величини обчислюється за формулою

М (x) =  , (1)

де - значення випадкової величини, рi - іхвероятності.

Розглянемо властивості математичного очікування:

1. Математичне сподівання константи дорівнює самій константі

М (С) = С

2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k, то і математичне очікування примножиться на це ж число

М (kx) = Kм (x)

3. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань

М (x1 + x2 + ... + Xn) = М (x1) + М (x2) + ... + М (xn)

4. М (x1 - x2) = М (x1) - М (x2)

5. Для незалежних випадкових величин x1, x2, ... Xn математичне сподівання добутку дорівнює добутку їх математичних очікувань

М (x1, x2, ... Xn ) = М (x1) М (x2) ... М (xn)

6. М (x - М (x)) = М (x) - М (М (x)) = М (x) - М (x) = 0

Обчислимо математичне сподівання для випадкової величини з Прикладу 11.

М (x) = = .

Приклад 12. Нехай випадкові величини x1, x2 задані відповідно законами розподілу:

x1 Таблиця 2

а  - 0,1  - 0,01  0,01  0,1
р  0,1  0,2  0,4  0,2  0,1

x2 Таблиця 3

b  - 20  - 10
р  0,3  0,1  0,2  0,1  0,3

Обчислимо М (x1) І М (x2)

М (x1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 = 0

М (x2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 = 0

Математичні очікування обох випадкових величин одінакови- вони дорівнюють нулю. Однак характер їх розподілу різний. Якщо значення x1 мало відрізняються від свого математичного очікування, то значення x2 у великій мірі відрізняються від свого математичного очікування, і ймовірності таких відхилень не малі. Ці приклади показують, що за середнім значенням можна визначити, які відхилення від нього мають місце як в меншу, так і в більшу сторону. Так при однаковій середній величині випадають в двох місцевостях опадів за рік не можна сказати, що ці місцевості однаково сприятливі для сільськогосподарських робіт. Аналогічно за показником середньої заробітної плати не можливо судити про питому вагу високо- і низькооплачуваних працівників. Тому, вводиться числова характеристика - дисперсія D (x) , яка характеризує ступінь відхилення випадкової величини від свого середнього значення:

D (x) = M (x - M (x))2 . (2)

Дисперсія це математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від математичного очікування. Для дискретної випадкової величини дисперсія обчислюється за формулою:

D (x) = =  (3)

З визначення дисперсії слід, що D (x)  0.

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія константи дорівнює нулю

D (C) = 0

2. Якщо випадкову величину помножити на деяке число k, то дисперсія примножиться на квадрат цього числа

D (kx) = k2 D (x)

3. D (x) = М (x2) - М2 (X)

4. Для попарно незалежних випадкових величин x1, x2, ... Xn дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

D (x1 + x2 + ... + Xn) = D (x1) + D (x2) + ... + D (xn)

Обчислимо дисперсію для випадкової величини з Прикладу 11.

Математичне сподівання М (x) = 1. Тому за формулою (3) маємо:

D (x) = (0 - 1)2· 1/4 + (1 - 1)2· 1/2 + (2 - 1)2· 1/4 = 1 · 1/4 + 1 · 1/4 = 1/2

Відзначимо, що дисперсію обчислювати простіше, якщо скористатися властивістю 3:

D (x) = М (x2) - М2 (X).

Обчислимо дисперсії для випадкових величин x1, x2 з Прикладу 12 по цій формулі. Математичні очікування обох випадкових величин дорівнюють нулю.

D (x1) = 0,01 · 0,1 + 0,0001 · 0,2 + 0,0001 · 0,2 + 0,01 · 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x2) = (-20)2 · 0,3 + (-10)2 · 0,1 + 102 · 0,1 + 202 · 0,3 = 240 +20 = 260

Чим ближче значення дисперсії до нуля, тим менше розкид випадкової величини щодо середнього значення.

величина  називається среднеквадратическим відхиленням. Модою випадкової величини x дискретного типу Md називається таке значення випадкової величини, якому відповідає найбільша ймовірність.

Модою випадкової величини x безперервного типу Md, Називається дійсне число, яке визначається як точка максимуму щільності розподілу ймовірностей f (x).

Медианой випадкової величини x безперервного типу Mn називається дійсне число, яке задовольняє рівняння

F (x) = .



Попередня   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   Наступна

І розвитку теорії ймовірностей. | Стохастичний експеримент, простір елементарних фіналів | Лекція 2. | Алгебра подій. | Лекція 3. | Умовні ймовірності. Незалежність подій. | Лекція 5. Формула повної ймовірності. | Послідовність незалежних випробувань. Формула Бернуллі. | Лекція 6. Найімовірніше число появ події. | Визначення випадкової величини. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати