На головну

Лекція 5. Формула повної ймовірності.

  1. I. КЛАСИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ІМОВІРНОСТІ.
  2. III. ФОРМУЛИ ПОВНОГО ІМОВІРНОСТІ І Байєса.
  3. Аналогічна формула описує об'ємне розширення порід
  4. Базова лекція
  5. Базова лекція
  6. Базова лекція
  7. Базова лекція

Приклад 6. Нехай в одному з трьох ящиків знаходиться 3 білих і 2 чорних кулі, у другому - 2 білих і 3 чорних, в третьому - тільки білі кулі. з навмання

обраного ящика витягають один шар. Знайти ймовірність того, що він білого кольору.

Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що обраний куля білого кольору. Імовірність цієї події залежить від того, з якого ящика обраний куля.

Розглянемо події:

H  - Куля узята з першого ящика,

H  - Куля узята з другого ящика,

H  - Куля узята з третього ящика.

події H  , H  , H  - Несумісні, тоді подія А можна представити у вигляді суми добутків

А = H  А + H  А + H А

Застосовуючи формули додавання і множення отримаємо,

Р (А) = Р (H  А + H  А + H  А) = Р (H  А) + Р (H  А) + (H  А) =

Р (H  ) Р (А / H  ) + Р (H  ) Р (А / H  ) + Р (H  ) Р (А / H  ) =

Це і є формула повної ймовірності. Запишемо її в загальному вигляді.

Нехай подія А може відбутися тільки сумісний з одним з подій

H  , H  , ..., H  , Що утворюють повну групу несумісних подій (гіпотез).

Імовірність Р (А) визначається формулою повної ймовірності

Р (А) =  Р (H  ) P (A / H  ),

де  Р (H  ) = 1.

Приклад 7. На двох автоматичних верстатах виготовляються однакові валики. Імовірність виготовлення валика вищого сорту на першому верстаті дорівнює 0,95, а на другому - 0,80. Виготовлені на обох верстатах нерассортірованние валики знаходяться на складі, серед них валиків, виготовлених на першому верстаті, в три рази більше, ніж на другому. Визначити ймовірність того, що навмання взятий валик виявиться вищого гатунку.

Позначимо А - подія, яка полягає в тому, що взятий навмання валик виявиться

вищого сорту;

В  - Подія, яка полягає в тому, що взятий навмання валик

проведений на першому верстаті;

В  - Подія, яка полягає в тому, що валик проведений на другому

верстаті.

Застосувавши формулу повної ймовірності отримаємо:

Р (А) = Р (В  ) Р (А / В  ) + Р (В  ) Р (А / В  ).

Оскільки валиків, вироблених на першому верстаті, в 3 рази більше, ніж на другому, то Р (В  ) =  , Р (В  ) = .

У задачі дано умовні ймовірності:

Р (А / В  ) = 0,92, Р (А / В  ) = 0,80.

шукана ймовірність

Р (А) =  = 0,89.

формули Байєса.

В умовах Прімера 6, обраний з ящика куля, виявився білого кольору. Знайти ймовірність того, що куля був узятий з третього ящика.

Це завдання відрізняється тим, що відомо подія, яка настала в результаті експерименту: А - витягнутий куля білого кольору. Потрібно знайти ймовірність гіпотези за умови, що настав подія А, тобто Р (Н  / А).

Розглянемо вірогідність Р (А Н  ), За формулою множення

Р (А Н  ) = Р (А) Р (Н  / А) = Р (Н  ) Р (А / Н  ).

З останнього рівності висловимо шукану ймовірність

Р (Н  / А) = ,

де Р (А) - повна ймовірність події А.

Отримане рівність і є формула Байеса для Н  . Аналогічно можна отримати формули для гіпотез H  і H .

Використовуючи результати Прімера 6, отримаємо

Р (Н  / А) = = .

Запишемо формули Байеса в загальному вигляді:

Р (  , Р (А) - повна ймовірність події А,

 Р (H  ) = 1, k = .

Приклад 8. В умовах Прімера 7, взятий навмання валик виявився вищого сорту.

Визначити ймовірність того, що він зроблений на першому верстаті.

Використовуючи позначення Прімера 7, по формулі Баейса отримаємо:

Р (В  / А) = =  = 0,76.

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

І розвитку теорії ймовірностей. | Стохастичний експеримент, простір елементарних фіналів | Лекція 2. | Алгебра подій. | Лекція 3. | Лекція 6. Найімовірніше число появ події. | Визначення випадкової величини. | Функція розподілу. | Математичне очікування. | Приклади дискретних розподілів. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати