загрузка...
загрузка...
На головну

Основні теореми про спектри.

  1. Аналіз ефективності збутового каналу та критерії його вибору. Основні етапи формування каналів розподілу
  2. АСУ - основні поняття та історії розвитку
  3. Види та основні правила роботи підприємств роздрібної торгівлі
  4. Витрати на продукцію й витрати періоду. Прямі та непрямі, основні та накладні, релевантні та нерелевантні, постійні, змінні та інші витрати
  5. ДЕМОКРАТІЯ: ПОНЯТТЯ ТА ОСНОВНІ ЗАСАДИ
  6. Джерела маркетингової інформації та методи її збору. Основні засоби інформаційної діяльності та специфіка їх застосування
  7. Динаміка обсягу та зміни цін і тарифів на окремі основні платні послуги населенню в 1997-1998 рр.

Приведемо без доказу кілька теорем про спектри, що виражають основні властивості перетворення Фур'є.

1. Теорема додавання. Спектр суми декількох сигналів

(5.1)

дорівнює сумі спектрів цих сигналів:

(5.2)

У справедливості цього вираження легко переконатися використовуючи вираження (4.3) і (4.4).

2. Теорема запізнювання (за годиною). Спектральна щільність сигналу , отриманого при зрушенні сигналу S(t) по осі годині на , визначається вираженням:

(5.3)

тобто зрушення функції по осі годині приводити до появи фазового зрушення для всіх частотних складових, рівного .

У справедливості останнього вираження легко переконатися, замінивши в (4.3) t на .

3. Теорема зсуву (по частоті). Якщо S(jw) - спектр функції S(t), то спектру , отриманому шляхом зрушення вихідного спектра по осі частот на величину , відповідає функція:

(5.4)

4. Теорема про спектри похідної й інтеграла. Спектри похідної й інтеграла від функції S(t) визначається відповідно вираженнями:

, (5.5)

.

5. Теорема про спектр згортки. Згорткой двох функцій S1(t) і S2(t) називається інтеграл:

. (5.6)

Спектр згортки двох функцій дорівнює добутку спектрів функцій, що згортаються:

. (5.7)

В окремому випадку, коли S1 (t)=S2 (t), одержимо

. (5.8)

Використовуючи останнє вираження, легко одержати раніше введена рівність Парсеваля (4.12).

6. Теорема про спектр добутку сигналів. Спектральна щільність добутку двох сигналів визначається згорткой їхніх сигналів і :

(5.9)

6. Приклади спектрів імпульсних сигналів

Розглянемо деякі конкретні приклади спектрального аналізу імпульсних сигналів.

1. Одиночний прямокутний імпульс.

Нехай мається прямокутний імпульс тривалістю й амплітудою h (малий.6.1). Для такого імпульсу прямимо перетворенням Фур'є знаходимо:

, (6.1)

 
 

де - площа імпульсу. Графік модуля спектра для позитивних частот показань на малий. 6.1. Спектральна щільність звертається в нуль при , а при w = 0 S(w) = q.

Рис. 6.1.

Зауважуємо, що при зменшенні тривалості імпульсу функція S(w) розтягується, тобто ширина спектра збільшується. При збільшенні tі ширина спектра зменшується.

Якщо обмежити спектр прямокутного імпульсу першим нулем спектральної щільності, тобто круговою чи частотою циклічною частотою , то для добутку тривалості імпульсу на ширину спектра одержимо:

. (6.2)

Ця рівність є приватним випадком більш загальної рівності, справедливого для всіх імпульсних сигналів

, (6.3)

відповідно до якого добуток ширини спектра сигналу на його тривалість є величина постійна, близька до одиниці. Існує кілька визначень тривалості імпульсу і ширини спектра. Відповідно до одному з їх під тривалістю імпульсу (шириною спектра) розуміється проміжок години (смуга частот), у якому зосереджена гнітюча частина енергії імпульсу.

2. Дзвоновий (гауссов) імпульс.

Дзвоновим називається імпульс, що описується функцією:

. (6.4)

Для спектральної щільності такого імпульсу з використанням перетворення Фур'є одержимо:

. (6.5)

Графіки дзвонового імпульсу і модуля його спектра показані на мал. 6.2. Першою особливістю такого імпульсу є те, що спектральна щільність його збігається за формою з тимчасовою функцією, тобто є також гауссовой кривої. Іншою особливістю такого імпульсу є те, що з усіх можливих форм імпульсів він має найменший добуток тривалості на ширину спектра.

 
 

Рис. 6.2.

3. Одиничний імпульс.

Одиничним імпульсом чи дельта-функцією d(t) називається функція нескінченно малої тривалості з кінцевою площею, рівній одиниці:

. (6.6)

Таку функцію можна розглядати як межа прямокутного імпульсу з тривалістю t і висотою при . Спрямовуючи в (6.1) для спектральної щільності одиничного імпульсу одержимо:

S(jw)=1. (6.7)

Цей же результат можна одержати і звичайним способом:

, (6.8)

тому що d(t)=0 при всіх значеннях , а при t=0 експонентний множник звертається в одиницю. Отут використовувалася так називане фільтруюче властивість d-функції, відповідно до якого

. (6.9)

Таким чином, спектр одиничного імпульсу є суцільним і рівномірної з одиничною спектральною щільністю аж до нескінченно великих значень частоти.

Одиничний імпульс є математичною абстракцією. Фізично можна реалізувати тільки короткий імпульс, тобто імпульс дуже малої тривалості t, із площею, рівної q. Спектр такого імпульсу визначається вираженням:

.

При малих t величина

і . (6.10)

Отже, короткий імпульс будь-якої форми має рівномірний спектр аж до частот порядку (поки виконується умова <<1). Далі спектральна щільність починає убувати.

4. Одинична функція.

Одинична функція, одиничний стрибок чи функція включення записується у виді:

(6.11)

 
 

Рис.6.3.

Помітимо, що розглянутий раніше одиничний імпульс можна розглядати як похідну одиничної функції

,

а одиничну функцію можна виразити інтегральним співвідношенням:

. (6.12)

Використовуючи теорему про спектр інтеграла (5.5) і вираження (6.7), одержимо:

. (6.13)

Модуль спектра цієї функції є . Залежність його від частоти показана на мал. 6.3 б.

Одинична функція широко використовується як іспитовий сигнал при дослідженні перехідних процесів в електричних ланцюгах. Нагадаємо, що відгук ланцюга h(t) на одиничну функцію називається перехідною характеристикою.

5. Періодична послідовність прямокутних імпульсів.

Розглянемо періодичну послідовність прямокутних імпульсів із тривалістю t і періодом Т (малий. 6.4.). Використовуючи (3.13), для такої послідовності одержимо:

. (6.14)

де - величина, називана шпаруватістю періодичної послідовності.

Цей же результат можна одержати і з вираження (6.1), використовуючи співвідношення (4.10). Графік модуля спектра (6.14) для позитивних частот показань на мал.6.4. (при Q = 3).

На підставі (3.11) і (6.14) періодична послідовність прямокутних імпульсів розкладається в ряд Фур'є в такий спосіб:

 
 

Рис. 6.4.

. (6.15)

Відзначимо тепер наступну обставину. Якщо при незмінній тривалості імпульсу збільшується період Т послідовності, то відстань між спектральними лініями зменшується, відстань же між нулями тієї що огибає спектра, рівне , залишається незмінним. При незмінному періоді Т і зміні тривалості імпульсу буде мінятися відстань між нулями огибающої спектра. Число гармонік, що укладаються в чи інтервалі між будь-якими двома сусідніми нулями, буде визначатися величиною

. (6.16)

тобто шпаруватістю періодичної послідовності.

6. Одиночний радіоімпульс.

Радіоімпульсом називається імпульс, тимчасова функція якого записується у виді:

(6.17)

де t- тривалість імпульсу, a(t) - що обгинає радіоімпульсу, wпро -частота, а jпро - початкова фаза високочастотного коливання, період якого . Спектральна щільність радіоімпульсу відповідно до (4.3) буде дорівнювати:

, (6.18)

де

,

(6.19)

.

- спектральні щільності що обгинає імпульсу a(t), зміщені по осі частот на постійну величину .

Таким чином, спектральна щільність радіоімпульсу цілком визначається спектральною щільністю його що обгинає. Можна показати, що при t >> Ті і w >0 для більшості радіоімпульсів виконується умова:

. (6.20)

Тому з достатньою точністю спектральну щільність одиночного радіоімпульсу для позитивних частот можна визначати по формулі:

. (6.21)

Проілюструємо сказане на прикладі радіоімпульсу з прямокутної що обгинає (малий. 6.5):

(6.22)

З (6.18) і (6.19) одержимо:

відкіля для модуля і фази спектральної щільності знаходимо:

 
 

, (6.24)

.

Рис. 6.5.

Графік модуля спектральної щільності для позитивних частот показань на мал. 6.5.

Як і треба було очікувати, відрізок гармонійного коливання має суцільний спектр. При необмеженому збільшенні тривалості імпульсу t одержимо гармонійне коливання в точному змісті визначення періодичної функції. Суцільний спектр коливання при цьому вироджується в одну спектральну лінію на частоті wo .

7. Модульовані коливання і їхні спектри

Модуляція полягає в зміні одного чи декількох параметрів переносника відповідно до переданого повідомлення. При використанні як переносник високочастотного гармонійного коливання модульований сигнал у загальному випадку можна представити у виді:

.

У залежності від того, який з параметрів a, w чи j модулюється, розрізняють три види модуляції: амплітудну (АМ), частотну (ЧМ) і фазову (ФМ). Усяке модульоване коливання несинусоідальне і має складний спектр. Розглянемо перераховані види модуляції докладно.

 



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   Наступна

Основні поняття і визначення. | Використовувані сигнали можна класифікувати по різних ознаках. У першу чергу їх потрібно підрозділити на детерміновані (регулярні) і випадкові. | У режимі модуляції потужність безупинно змінюється. Її | Частотна модуляція | При модуляції чистим тоном маємо | Імпульсна модуляція | Порівнюючи (8.1.9) і (8.1.7), зауважуємо, що |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати