загрузка...
загрузка...
На головну

Дозволяють рівняння теорії пружності

  1. I. Найпростіші тригонометричні рівняння
  2. VII. Неоднорідні рівняння першого ступеня
  3. XII. Теорії суспільного розвитку в 20 столітті.
  4. Z4.3. ТЕОРІЇ ЛІДЕРСТВА І СТИЛІ КЕРІВНИЦТВА
  5. Абсолютизм (абсолютно-гетерономний, абсолютно-автономні, інтуїтивні теорії)
  6. Автокорреляция в залишках, її вимір і інтерпретація. Критерій Дарбіна-Уотсона в оцінці якості трендового рівняння регресії.
  7. Автори теорії.

У зведенні основних рівнянь теорії пружності - статичних (5.2), сумісності деформацій (5.8), (5.9) і фізичних (5.15), (5.16) присутні 15 невідомих функцій координат x, y, z: функції напружень  , Функцій деформацій  і функцій переміщень u, v, w, а також постійні E, G і  , Причому для ізотропного матеріалу  . Шляхом відповідних математичних перетворень в рівняннях (5.2), (5.8), (5.15) і (5.16) можна скоротити число шуканих функцій і отримати дозвільні рівняння в напружених або переміщеннях.

Дозволяють рівняння в напруги

Бельтрами - Мітчелла

Користуючись рівняннями закону Гука (5.15) в рівняннях сумісності деформацій (5.8) і (5.9) висловимо  через  , Тобто .

Відпускаючи досить громіздкі викладки, наведемо остаточні формули

 (6.1)

Тут прийнято:

символ  - Символ оператора Лапласа для функції  він має вигляд

Як окремий випадок зазначимо, якщо масові сили X, Y, Z не залежить від координат x, y, z, тобто вони постійні за обсягом тіла, то і відповідні похідні звертаються в нуль. Тоді рівняння (6.1) спрощуються і приймають вид:

 (6.2)

Вираз (6.1) і (6.2) - рівняння Бельтрамі - Мічелла, що дозволяють рівняння теорії пружності в напругах. Доповнивши до них статичні рівняння рівноваги (5.2), отримуємо систему дев'яти рівнянь. З огляду на закон парності дотичних напружень (5.3), згідно з яким

ми приходимо до системи шести рівнянь, що включає шукані функції

Дозволяють рівняння в переміщеннях Ляме

Користуючись рівняннями закону Гука у вигляді (5.16) в рівняннях рівноваги (5.2) висловимо  через  , А за допомогою співвідношень Коші (5.7) переходимо від  переміщенням u, v, w.

де

G =  , Далі отримаємо

Скоротимо на G і на підставі співвідношень Коші

 отримаємо

оператор Лапласа

остаточно

Застосовуючи принцип циклічної перестановки, отримаємо

 (6.3)

де  -об'ємна деформація

Отримані вирази (6.3) - дозвіл на рівняння теорії пружності в переміщеннях, формули Ляме. За допомогою рівнянь Ляме (6.3) зручніше і простіше вирішувати завдання з кінетамітечскімі граничними умовами (завдання II роду)

7. Плоска задача теорії пружності

Плоска задача теорії пружності ділиться на два види: плоске (двовісний) напружений стан і плоска деформація .:

Плоский напружений стан виникає в пластині від навантаження, прикладеного за її контуру або обсягом і залишається по товщині пластини постійної або змінною симетрично щодо серединної площини пластини, тобто від навантаження, діючу пенсійну систему площині пластини. Прикладами найпростішого плоского напруженого стану для прямокутних пластин є рівномірний розтягнення, чистий плоский вигин, чистий зсув.

плоска деформація має місце, якщо виконані наступні умови:

а) з трьох компонентів вектора переміщення  u, ,  змінними в усіх точках пластини є два компонента в одній площині, а третій або дорівнює нулю, або зберігає відміну від нуля, по постійне значення. Таким компонентів при плоскій деформації в площині ху є ;

б) якщо компоненти переміщень u,  є функціями тільки двох змінних х, у, т. е. завдання для плоскої деформації пластини двомірна.

Зведення основних рівнянь теорії пружності для плоскої задачі.

Тензор напружень:  (7.1)

Тензор деформацій:  (7.2)

Статичні рівняння рівноваги (Нав'є)

 (7.3)

Умови рівноваги граничного елемента (статичні граничні умови)

 (7.4)

Геометричні рівняння (Коші)

 (7.5)

Рівняння спільності деформацій (Сен-Венана)

 (7.6)

Фізичні рівняння (закон Гука)

пряма форма

 (7.7)

зворотна формі

 (7.8)

Рівняння фізичного закону для плоского напруженого стану і плоскої деформації по формі співпадають при заміні Е на Е1 и  на

 (7.9)

Дозволяють рівняння в напружених (Леві)

За умови, що масові сили постійні за обсягом (схема виведення колишня)

 (7.10)

До цього рівняння необхідно доповнити статичні рівняння рівноваги (7.3) і отримати систему трьох рівнянь з трьома невідомими
 Як випливає з виразу (7.10),  - Функція гармонійна.

Дозволяють рівняння в переміщеннях

(Схема виведення колишня)

 (7.11)

де

Рішення плоскої задачі за допомогою

функції напружень Ейрі

Рішення плоскої задачі можна істотно спростити, якщо перейти від трьох невідомих функцій  до однієї функції  , Званої функцією напружень (функцією Ейрі). Вважаємо, що масові сили постійні за обсягом , . Припустимо, що існує така функція  , Через яку можна виразити шукані функції  за такою схемою

 (7.12)

Легко перевірити, що рівняння рівноваги (7.3) виконуються при будь-якої функції  , Що відповідає умовам (7.12)

Таким чином будь-яка функція  відповідає рівноважним полях напружень (7.12), тобто задовольняє умовам рівноваги (це зазначив англійський вчений Джордж Ейрі в 1862 р, звідси - функцію напружень  називають функцією Ейрі).

З усіх рівноважних полів напружень справжнє (Дійсне) поле повинно ще до того ж задовольнити умовно сплошности деформацій (7.6) відповідно до залежності (7.10) запишемо

 (7.13)

Підставивши функцію  , Згідно (7.12), в вираз (7.13), отримаємо

тобто отримаємо  (7.14)

або розкривши подвійний оператор (7.14), отримаємо

(7.15)

Рівняння (7.5), називають гармонійним рівнянням плоскої задачі.

У висновку відзначимо, що практичне вирішення окремих завдань за допомогою функції напруг полягає в наступному: інтуїтивно задаються деяким виразом для функції напружень  у вигляді многочлена другого або третього ступеня виду

 (7.16)

Потім складаються вирази для напруг и  , Згідно залежностям (7.12), і підбирають невідомі коефіцієнти С1, З2, З3, З4 такими, щоб задовольнялися статичні граничні умови розв'язуваної задачі.

Список рекомендованої літератури.

1. Л. П. Винокуров. Теорія пружності і пластичності.

Вид. ХДУ. Харків 1965 - с. 327

2. А. В. Александров, В. Д. Потапов. Основи теорії пружності і пластичності: Учеб. для будує. спец. вузів. - М .: Вища. шк, 1990 - 400с.

3. А. П. Філін. Прикладна механіка твердого тіла, що деформується. Вид. Наука, Москва, 1975 г. т. 1 - с. 832



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12

ОГЛЯДОВІ ЛЕКЦІЇ | Вступ | Цілі і завдання курсу | Пряма і зворотна задачі теорії пружності | теорія напружень | Тензор напружень та його компоненти | Окремі випадки напружених станів | Пряма і зворотна задачі теорії напружень | теорія деформацій | Основні рівняння теорії пружності |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати