Головна

Тема 4. Економіко-математичні методи, що застосовуються в економічному аналізі. Кореляційний та регресійний аналіз.

  1. GAP-аналіз.
  2. SNW- аналіз.
  3. АВС - аналіз.
  4. Балансові моделі як основа реалізації організаційно-технологічного підходу в макроекономічному управлінні
  5. Квиток 1. Статистичні методи, що застосовуються в управлінні якістю військової продукції і їх призначення.
  6. Види різьблення, що застосовуються для прикраси меблів
  7. Зовнішня і внутрішня середовище організації. SWOT-аналіз.

мета:Вивчити кореляційний аналіз; мати уявлення про статистичної та функціонального зв'язку; знати основне завдання кореляційного аналізу; лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона; властивості лінійного коефіцієнта кореляції; значимість

коефіцієнта кореляції; його економічну інтерпретацію; основні положення багатовимірного кореляційного аналізу.

Вивчити регресійний аналіз, його основне завдання; етапи регресійного аналізу;

види рівнянь регресії; оцінку значущості рівняння регресії. розуміти використання

регресійного аналізу в прогнозуванні. Вміти оцінювати ступінь близькості рівняння регресії до фактичних даних. Вміти розраховувати коефіцієнт детермінації; помилку рівняння регресії; коефіцієнт кореляції Фі при вимірах в дихотомічних шкалах; коефіцієнт кореляції Спірмена при вимірах в шкалах порядку.

план

1.Поняття і класифікація економіко-математичних методів, застосовуваних в економічному аналізі.

2.Кореляційний аналіз.

3.Регресійний аналіз.

4.Додаток кореляційного і регресійного аналізу до економічних досліджень.

1. Поняття і класифікація економіко-математичних методів, застосовуваних в економічному аналізі

Відповідно до цілями аналізу здійснюється класифікація методів:

1. Прогноз (регресійний аналіз, експоненціальне згладжування, прогноз на основі перетворення Фур'є з урахуванням сезонних коливань).

2. Аналіз (дисперсійний аналіз, кореляційний аналіз, метод головних компонент).

3. Оптимізація (математичне програмування, теорія ігор).

4. Класифікація (кластерний аналіз, теорія розпізнавання образів і т.д.)

2. кореляційний аналіз

кореляція- Взаємозв'язок, взаємозалежність. Функціональний зв'язок полягає в тому, що певному значенню однієї змінної відповідає певне значення іншої.

Статистична (імовірнісна, стохастична) зв'язок, коли кожному значенню однієї змінної відповідає деякий розподіл іншої змінної. Виникнення цього поняття обумовлено тим, що залежна змінна схильна до впливу ряду неврахованих і неконтрольованих факторів, а також тим, що вимір значення змінних неминуче супроводжується випадковими помилками.

Основним завданням кореляційного аналізу є виявлення зв'язку між випадковими змінними і оцінка її тісноти. Кореляційний аналіз застосовується, коли дані спостережень можна вважати випадковими і вибраними з генеральної сукупності, розподіленої по багатовимірному нормальному закону.

ПРИКЛАД:

Припустимо, що проведена вибірка n значень показника в ретроспективному періоді і впливає на нього фактора. В результаті отримано ряд значень показника  і впливає на нього фактора .

Кореляційний аналіз дозволяє кількісно оцінити тісноту зв'язку між ознакою і фактором. Наявність і кількісну характеристику зв'язку між ознакою і фактором можна визначити за допомогою оцінки коефіцієнта кореляції Пірсона (лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона).

 причому

або

Зазвичай вважають:

|R | <0,3 - зв'язок слабка (немає залежності)

0,3  | R |  0,6 - зв'язок середня

0,6 <| R |  1-зв'язок сильна

Тіснота зв'язку "сильна", що переходить в функціональну лінійну зв'язок при |R | = 1.

Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює 0, то випадкові змінні х і у не коррелірованни. Некоррелірованні ознак х і у свідчить про відсутність лінійного зв'язку міжними, але не є ознакою відсутності залежності у від х взагалі. Між ними може існувати нелінійна залежність.

приклад. Розрахований коефіцієнт кореляції між собівартістю продукції і продуктивністю праці рабочіх.R = -0.92. висновок:

Сильний кореляційний зв'язок між продуктивністю праці робітників і собівартістю продукції. Мінус свідчить про те, що зв'язок зворотна, тобто при підвищенні продуктивності праці собівартість продукції знижується.

Властивості коефіцієнта кореляції:

O коефіцієнт кореляції за абсолютною величиною знаходиться в інтервалі від -1 до 1.

O величина R не зміниться, якщо всі значення х і у розділити або помножити на одну і ту ж величину.

O величина R не зміниться, якщо до всіх значень х і у додати або відняти одну і ту ж величину.

O в будь-якому явищі має бути присутня причинно-наслідковий зв'язок (логіка).

Коефіцієнт кореляції обчислюється за вибірковими даними і як будь-який статистичний показник може бути визначений з деякою погрішністю. При відсутності кореляційної зв'язку між ознаками, коефіцієнт кореляції = 0, однак через випадкового відбору даних вибірковий коефіцієнт кореляції може бути і відмінним від 0. У зв'язку з цим виникає необхідність перевірки значущості коефіцієнта кореляції, обчисленого на підставі відбору даних. Вибірковий коефіцієнт кореляції вважається значимим, якщо висновки щодо наявності та характеру кореляційної зв'язку, зроблені на підставі вибірки, справедливі і для генеральної сукупності.

Розглянемо спосіб оцінки значущості коефіцієнта кореляції: Кожному значенню коефіцієнта кореляції відповідає випадкова величина t, підпорядкована розподілу Стьюдента з К = n-2 ступенями свободи (n - обсяг вибірки),  . Обчислене за цією формулою значення t порівнюють з табличним значенням  , Яке знаходять за таблицями розподілу Стьюдента при заданому рівні значимості  і кількістю ступенів свободи К.

Якщо | t |>  , То кореляційний зв'язок між змінними вважається значущою. Якщо | t |  , То відмінність між вибірковим коефіцієнтом кореляції R і коефіцієнтом кореляції  , Узятим з генеральної сукупності, рівне 0, не значимо, а відміну R від 0 пояснюється випадковим характером відбору даних.

Коефіцієнт кореляції, що застосовуються в дихотомічних і рангових шкалах вимірах.

Розрізняють 4 шкали вимірювання змінних:

1. дихотомічному шкала (чоловіки або жінки, сезонний робітник чи ні, банкрут чи ні).

2. Дихотомія в припущенні про нормальний закон розподілу (t = 37 °: нижче-здоровий, вище-хворий)

3. Ранговая шкала (бальна, порядкова) -Упорядочіть комерційні банки по іміджу

4. Шкала відносин або інтервалів (° С, м, грн., Годинник). З 4 шкали можна перейти в 1 або 2, 3 ті чи інші умови.

Розглянемо коефіцієнт кореляції, коли:

· Обидві змінні вимірюються в дихотомічних зв'язках. Міра зв'язку коефіцієнт  (Фі):

приклад: Необхідно встановити зв'язок між студентами університету, виключеними або залишилися (1 і 0 відповідно) і сімейним станом. Одружений -1 неодружений - 0

 номер студента  X (одружений / неодружений)  Y (виключений / залишений)

 - Частка студентів, які мають 1 по х;  - 1 по у;  - 0 по х;  - 0 по у

· Обидві змінні вимірюються в шкалах порядку. Міра зв'язку - рангові коефіцієнт кореляції  Спірмена:

n - Обсяг вибірки

 - Різниця між рангом по х об'єкта і його ж рангом по у.

X - місце розташування

Y - імідж

X Y
 ... n  ...  ...

3. Регресійний аналіз

регресія - В перекладі з латинської "рух назад".

Основне завдання регресійного аналізу - встановлення форми і вивчення залежності між змінними.

Регресійний аналіз включає 3 етапи:

логічний;

-графічний;

-визначення рівняння теоретичної лінії регресії, тобто встановлення функціонального зв'язку між ознакою і фактором.

Розглянемо ці етапи докладніше:

1. Логічний - такий вид аналізу, при якому (в ретроспективному періоді в залежності від емпіричних даних економічного показника і значення впливає на нього фактора) можна зробити припущення щодо наявності та напрямку зв'язку між ознакою і фактором.

2.На етапі графічного аналізу числові значення фактора х відкладаються на осі абсцис, а значення результуючого показника у на осі ординат. Точки на графіку, відповідні кожній парі значень х і у, утворюють поле кореляції. За характером розташування точок можна судити про форму і напрямку зв'язку. Поєднавши послідовно точки на площині отримаємо ламану лінію, звану емпіричної лінією регресії. За її виду можна припустити тип теоретичної лінії регресії.

3. Процес знаходження теоретичної лінії регресії полягає у виборі і обгрунтуванні типу кривої і розрахунку параметрів її рівняння. Теоретична лінія регресії представляється у вигляді прямої або плавною кривою, виражається математичним рівнянням того чи іншого типу.

типи регресії:

Найбільш поширеними математичними формами зв'язку результуючого показника і фактора є наступні рівняння:

у (х) = а + b х - лінійна

у (х) = а + b / х - гіперболічна

у (х) = а + b х + сх  - параболічна

у (х) = а * ехр (b, х) - експоненціальна

у (х) = а * х  - статечна

у (х) = а + b * 1оg  (Х) - логарифмічна

у (х) = а *  - показова

Після вибору форми зв'язку розрахуємо параметри теоретичного рівняння регресії. Спосіб розрахунку заснований на вимозі максимальної близькості її до емпіричної лінії регресії. Для відшукання параметрів використовується метод найменших квадратів, який заснований на тому, що з безлічі залежностей у = f (х) найкращим чином наближаються до емпіричної лінії регресії є та, для якої сума квадратів відхилень фактичних значень ознаки від обчислених з цього рівняння є найменшою.

Розберемо лінійну математичну форму зв'язку, при якій невідомі коефіцієнти "а" і "Комерсант" визначаються з рішення системи рівнянь:

За допомогою отриманого рівняння регресії можна визначити вирівнювання значень показника  в ретроспективному періоді.

Підставами фактичне значення  в рівняння регресії. Прогноз показника здійснюється підстановкою задаються значень  в прогнозному періоді в знайдену функцію.

інтерполяція - (Лат. - Оновлювати) - побудова наближеного або точного аналітичного вираження функціональної залежності, якщо про неї відомі тільки співвідношення між значеннями незалежної змінної і відповідними значеннями функції в дискретному ряді точок.

екстраполяція - (Лат .: поза) - поширення результатів, отриманих з спостереження впливу однієї частини явища на іншу. На практиці, здійснюючи екстраполяцію, необхідно дотримуватися умов:

· Надійність і репрезентативність вихідних даних;

· Допустимість екстраполяції повинна супроводжуватися якісним аналізом.

апроксимація - Наближене вираження математичних величин (чисел, функцій) через інші більш прості.

За допомогою отриманого рівняння регресії можна визначити вирівнювання значення показника у  в ретроспективному періоді, підставивши фактичні  значення в рівняння регресії.

Прогноз показників здійснюється так: в знайдену функцію підставляють задаються значення хв прогнозованому періоді і отримують плановані величини показників. Оцінку ступеня близькості отриманого рівняння регресії до фактичних (емпіричних) даних можна визначити на основі кореляційного відносини:

0 1

чим  ближче до 1, тим краще теоретичне рівняння регресії аппроксимирует емпіричні дані.

Кореляційне відношення може бути застосовано при вивченні тісноти прямолінійною і криволінійної зв'язку між хи у . При лінійної залежності між х и у кореляційні відносини рівняються лінійному коефіцієнту кореляції. Якщо при нелінійної залежності використовується лінійний коефіцієнт кореляції, то він занижує результат.

Помилка рівняння регресії показує в середньому відхилення фактичних даних від теоретичних даних:

 , де

n - Обсяг вибірки

p- Число, що визначає в рівнянні регресії параметри

Чим помилка менше, тим краще теоретичне рівняння регресії аппроксимирует емпіричні дані. Допустимої в економічних розрахунках вважається помилка 5-8%.

В результаті екстраполяції слід прагнути не до отримання точної величини показника, а до визначення того довірчого інтервалу, в якому знаходиться шукана величина з відомою ймовірністю. У зв'язку з цим необхідно перевірити значущість оцінок параметрів регресії, тобто кожного коефіцієнта регресії і рівняння регресії. У зв'язку висловлюється гіпотеза (Н  ) Про те, що всі коефіцієнти регресії крім першого рівні 0. Перевірка гіпотези Н  здійснюється за допомогою критерію Фішера:

 причому

При заданому рівні значущості  для ступенів свободи (p -1) і ступенів свободи (n - р) по таблиці F-розподілу Фішера знаходять табличне значення і порівнюють його з розрахунковим.

якщо  , То гіпотеза Н  відкидається, тобто рівняння регресії вважається значимим, і навпаки.

Коефіцієнт детермінації - показник, який використовується для розкладання окремих факторів. Він показує яку частку загальної дисперсії становить дисперсія, що утворюється під впливом досліджуваного фактора:

приклад:

При оцінці тісноти зв'язку між продуктивністю праці і собівартості продукції коефіцієнт детермінації виявився рівним 0.87. Це означає, що 87% варіації (або зміни) в собівартості продукції обумовлено варіацією (зміною) продуктивності праці. Вплив інших факторів незначно, і дорівнює 13%.

приклад:

Проведемо кореляційний і регресійний аналіз фондовіддачі (y) від наступних факторів:

 - Питома вага машин і устаткування в загальній вартості ОПФ.

 - Електроозброєність робочих

 - Рівень використання виробничих потужностей.

Були отримані наступні коефіцієнти кореляції:

; ; .

У зв'язку з тим, що коефіцієнт кореляції між у і х  маленький, то х  в подальшому не використовується. В результаті подальшого дослідження було отримано наступне рівняння регресії: у = -3,85 + 0,0774х  + 0,0234х  Параметри рівнянь регресії інтерпретуються наступним чином: вільний член а = -3,85 економічної інтерпретації не має, він визначає положення початкової точки лінії регресії в системі координат. Коефіцієнт регресії при  показує, що збільшення питомої ваги машин і устаткування в загальній вартості ОПФ на 1% веде до зростання фондовіддачі на 7,74грн.

Підвищення рівня завантаженості потужності на 1% піднімає фондовіддачу на 2,34грн.

4. Додаток кореляційного і регресійного аналізу до економічних досліджень.

Провідним напрямком кореляційного аналізу в економіці є дослідження залежності в сфері виробництва за допомогою виробничої функції.

Під виробничою функцією розуміється залежність випуску продукції від витрат різних виробничих ресурсів. У загальному вигляді функцію випуску можна записати:

 , де

Р - обсяг виробленої продукції F ... - витрати ресурсів (праці, основних засобів, сировини, матеріалів і т.д.)

В даному випадку залежність між витратами різних видів ресурсів (незалежні змінні) і обсягом випуску продукції (залежні змінні) повинна бути виражена рівнянням множинної кореляції. Однією з перших практичних робіт в галузі вивчення виробничої функції було дослідження, проведене І. Коббом і П. Дугласом і називається "виробничою функцією Кобба і Дугласа" (ПФКД) за даними оброблюваної галузі промисловості США за період тисяча вісімсот дев'яносто дев'ять -1922 рр.

У цих дослідженнях була проведена функція наступного виду:

Р =

Р - індекс промислового виробництва

L - індекс чисельності робочої сили

К - індекс основного капіталу розглянутих галузей

 - Тимчасова тенденція розвитку виробництва (НТП)

 -характеризує темпи зростання продукції під впливом НТП.

Для окремого підприємства, що випускає однорідний продукт, виробнича функція може пов'язувати обсяг випуску з витратами робочого часу з різних видів трудової діяльності, різними видами сировини, комплектуючих виробів, енергії, основного капіталу, тобто виробнича функція характеризує діючу технологію підприємства.

Для рівня макро аналізу: при побудові ПФ для регіону або країни в якості величини річного випуску У частіше беруть сукупний продукт (або дохід) регіону або країни; в якості ресурсів розглядають основний капітал, жива праця, іноді в якості 3-го фактора вводять обсяги використовуваних природних ресурсів і технічний прогрес:

Якщо в функцію Р ввести  , То ми вводимо показник науково-технічного прогресу, де  характеризує темп приросту випуску продукції під впливом НТП.

Дослідження, проведені в СРСР (1960 - 1986рр.) Дали наступну виробничу функцію:

Найчастіше а  і а  в сумі повинні дорівнювати  1.

Дослідження показують, що ефективність витрат пов'язана з масштабами виробництва. При цьому в одних галузях (енергетика, металургія) укрупнення виробництва супроводжується підвищенням ефективності витрат, а в інших (сільське господарство, торгівля) характерно спадна ефективності витрат. Дослідження ПФ народного господарства СРСР показало, що 68,2% всього приросту продукції отримано за рахунок збільшення обсягу використання ресурсів, а 31,8% приросту обумовлено факторами технічного прогресу і збільшенням масштабів виробництва. Кореляційний аналіз можна використовувати в аналізі функцій попиту і пропозиції.

Попит і пропозиція населення відносяться до таких економічних показниках, для яких важко передбачити майбутні зміни. Структура попиту та пропозиції визначається численними факторами соціально-економічного, фізіологічного, природничо-географічного характеру. Серед них слід відзначити такі "невловимі" чинники, як капризи моди зміна звичок і смаків і т.д., але це не означає, що попит і пропозиція є чимось хаотичне, який не підвладний ніяким закономірностям. Незважаючи на те, що поведінці окремого споживача проявляється багато суб'єктивного, випадкового, для всієї маси споживачів характерні об'єктивні закономірності статистичного характеру і найбільш відповідним їх природі методом дослідження є кореляційний аналіз. До основних об'єктивних факторів, що впливають на обсяг я структуру попиту і пропозиції належать:

· Доходи;

· Рівень і співвідношення цін на товари;

· Розмір і склад сім'ї.

Більш поглиблений аналіз вимагає вивчення таких факторів як стан товарного ринку і стан запасів у самих споживачів. У процесі дослідження попиту і пропозиції будуються моделі як парної так і множинної кореляції.

За допомогою кореляційного аналізу здійснюється обґрунтування нормативів.

приклад: чисельність основних виробничих робітників знаходиться у взаємозалежності з наявним кількістю обладнання, планом випуску продукції, а ось кількості обслуговуючого, допоміжного, управлінського персоналу у нас немає, тому що немає чітких критеріїв їх нормативів. Кореляційний аналіз дозволяє вирішити цю задачу.

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Тема 1. Предмет і завдання економічного аналізу | Тема 2. Метод і методичні прийоми економічного аналізу. | Тема 3 Аналіз факторних систем економічної діяльності. | Тема 6. Види економічного аналізу та їх роль в управлінні виробництвом. | Види економічного аналізу. | Види аналізу залежно від масштабів | Види аналізу залежно від фактора часу | Види аналізу залежно від взаємозв'язку з об'єктом управління | Тема 7. Організація економічного аналізу | регресія |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати