На головну

Властивості середньої арифметичної величини

  1. V. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ.
  2. XI. Пристосування ТА ІНШІ ЕЛЕМЕНТИ, властивості. Здібностей та обдарувань АРТИСТА
  3. А - дрібний пісок; б - пісок середньої крупності
  4. абсолютні величини, що характеризують обсяг явища за певний період часу - результат процесу.
  5. Абсолютні і відносні величини
  6. Алюміній, його властивості та застосування в техніці
  7. Амфотерними називаються такі гідроксиди, які в залежності від умов виявляють властивості яких підстав, або кислот.

1. Сума відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює нулю.

2. Якщо кожне індивідуальне значення ознаки помножити або розділити на постійне число, то і середня збільшиться або зменшиться в стільки ж разів.

3. Якщо до кожного індивідуального значення ознаки додати або з кожного значення відняти постійне число, то середня величина зросте чи зменшиться на це ж число.

4. Якщо ваги середньої зваженої помножити або розділити на постійне число, середня величина не зміниться.

5. Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж від будь-якого іншого числа.

2. Середня геометрична, середня гармонійна,

середня квадратична.

Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінним твір індивідуальних величин, то слід застосувати геометричну середню величину.Її формула така

 (4)

Основне застосування геометрична середня знаходить при визначенні середніх темпів зростання.

приклад. В результаті інфляції за перший рік ценатовара зросла в 2 рази до попереднього року, а за другий годеще в 3 рази до рівня попереднього року. Який середній темп зростання ціни за 1 рік?

Рішення. Відповідно до формули середньої геометричної (4). Середньорічний темп зростання цін дорівнює:  рази.

Якщо за умовами завдання необхідно, щоб при осреднении незмінною залишалася сума величин, зворотних індивідуальним значенням ознаки, то середня величина є гармонійної середньої.

Формула простої середньої гармонійної величини така:

 (5)

Формула взвешанной середньої гармонійної величини

 (6)

Приклад.Рассчітать середню заробітну плати по двох підприємствах, разом: за лютий і за два місяці. Вихідні дані представлені в таблиці.

Таблиця 4

 № підприємства  січень  Лютий
 Середня заробітна плата, руб.  Чисельність працівників, осіб  Середня заробітна плата, руб.  Фонд оплати праці, тис. Чол.

Обчислити середню заробітну плату співробітників по двох підприємствах.

Рішення.

Так вихідне співвідношення середньої для показника «середня заробітна плата» має вигляд

ІСС = .

За січень середня заробітна плата розрахована в попередньому прикладі, вона дорівнює =  руб.,

За лютий ми маємо тільки дані про середню заробітну плату та фонду оплати праці. Чисельність працівників по кожному підприємству можна отримати поділом фонду оплати праці на середню заробітну плату. Тоді розрахунок середньої заробітної плати в цілому по двох підприємствах буде проведений за формулою середньої гармонійної зваженої:

 = 5757 руб.,

За два місяці розрахунок середньої заробітної плати по двом підприємствам проведений за формулою середньої арифметичної взвешанной

 руб.,

Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінною суму квадратів вихідних величин, то середня буде квадратической середньою величиною.

Формула розрахунку простий квадратической середньої величини:

 (7)

Головною сферою застосування квадратической середньої величини є вимір варіації ознаки в сукупності.

Аналогічно якщо за умовами завдання необхідно зберегти незмінною суму кубів індивідуальних значень ознаки при їх заміні на середню величину, ми приходимо к середньої кубічної, має вигляд:

 (8)

Всі розглянуті вище види середніх величин належать до загального типу статечних середніх.

Види статечних середніх

 Вид статечної середньої  Формула розрахунку
 проста  зважена
 арифметична
 гармонійна
 геометрична
 квадратична
 кубічна

Правило мажорантності середніх визначає зв'язок між середніми величинами:

.

3. Структурні середні: мода, медіана

модоюназивається значення досліджуваного ознаки, що має найбільшу частоту і позначають Мо.

У дискретному ряду мода визначається без обчислення як значення ознаки з найбільшою частотою. Зазвичай зустрічаються ряди з одним модальним значенням ознаки. Якщо два або кілька рівних (і навіть кілька різних, але великих, ніж сусідні) значень ознаки є в варіаційному ряду, він вважається відповідно бімодальному ( «верблюдообразним») або мультимодальних. Це говорить про неоднорідність сукупності, можливо, представляє собою суму декількох сукупностей з різними модами.

В інтервальному варіаційному ряду і при безперервної варіації ознаки, передбачається, що кожне значення ознаки зустрічається тільки один раз. Модальним інтервалом є інтервал з найбільшою частотою. Усередині цього інтервалу знаходять умовне значення ознаки, поблизу якого щільність розподілу, тобто число одиниць сукупності, що припадає на одиницю виміру варьирующего ознаки, досягає максимуму. Це умовне значення і вважається модою. Логічно припустити, що таке значення розташовується ближче до тієї за межі інтервалу, за якої частота в сусідньому інтервалі більше частоти в інтервалі за одною кордоном модального інтервалу.

 , (9)

 - Нижня межа модального інтервалу;

 - Частота в модальному інтервалі;

 - Частота інтервалу попереднього модальному;

 - Частота інтервалу наступного за модальним;

i - Величина інтервалу.

приклад. Розрахувати моду за даними наведеними в таблиці.

Таблиця 4

Розподіл господарств області по врожайності зернових культур

 Урожайність, ц / га, хi  Чіслохозяйств, fi  Середина інтервалу, ц / га, хi х?i fi  Накопленнаячастота, f ? i
 10-15  12,5  75,0
 15-20  17.5  157,5
 20-25  22,5  450,0
 25-30  27,5  1127,5
 30-35  32,5  845,0
 35-40  37,5  787,5
 40-45  42,5  595,0
 45-50  47,5  237,5
 50-55  52,5  52,5
 Разом    4327,5  

При вивченні варіації застосовуються такі характеристики варіаційного ряду, які описують кількісно його структуру, будова. Така, наприклад, медіана - величина варіює ознаки, що ділить сукупність на дві рівні частини по числу одиниць сукупності.

Медіана не залежить від значень ознаки на краях рангового ряду. Тому часто медіану використовують як більш надійний показник типового значення ознаки, ніж арифметична середня, якщо ряд значень неоднорідний, включає різкі відхилення від середньої.

При парному числі одиниць сукупності за медіану беруть арифметичну середню величину з двох центральних варіант, наприклад при 10 значеннях ознаки - середню з п'ятого і шостого значень в ранжированном ряду.

В інтервальному варіаційному ряду для знаходження медіани застосовується формула

 (10)

де Me - медіана;

хе - Нижня межа інтервалу, в якому знаходиться медіана;

п - Число спостережень;

- накопичена частота в інтервалі, що передує медіанного;

- частота в медіанному інтервалі;

i - Величина медіанного інтервалу.

приклад. Розрахувати значення медіани за умовами попередньої задачі.

Рішення. У нашому випадку є непарне число значень (143 + 1) / 2 = 72, тобто в середині ряду знаходиться 72-е від початку ряду значення врожайності. Як видно з ряду накопичених частот (табл. 5.4), воно знаходиться в четвертому інтервалі. тоді

У равноінтервальном ряду медіана - це середина середнього інтервалу при їх непарному числі чи середня арифметична за межі двох середніх інтервалів при їх парному числі.

4. кварту і децили розподілу

Значення ознаки, що ділять сукупність на чотири рівні по числу одиниць частини, величини називаються квартилями і позначаються Q1, Q2, Q3. значення Q2 збігається з медіаною. Для першого і третього квартилей наводимо формули і розрахунок за даними таблиці (5.4)

 (11)

 (12)

 - Нижня межа інтервалу, в якому знаходиться перша квартиля;

 - Нижня межа інтервалу, в якому знаходиться третя квартиля;

 - Число спостережень;

- накопичена частота в інтервалі, що передує першому квартильное;

 - Накопичена частота в інтервалі, що передує третьому квартильное;

- частота в першому квартильное інтервалі;

- частота в третьому квартильное інтервалі;

i - Величина інтервалу.

Так як Me = 29,5 ц / га, то відмінність між першим Квартиль і медіаною менше, ніж між медіаною і третім Квартиль. Цей факт свідчить про наявність певної несиметричності в середній області розподілу.

Значення ознаки, що ділять ряд на п'ять рівних частин, називають квінтіле, на десять частин - децілямі, на сто частин - перцентилей.

Формула для розрахунку першої та дев'ятої децили має вигляд

 (13)

 (14)

 - Нижня межа інтервалу, в якому знаходиться перша дециля;

 - Нижня межа інтервалу, в якому знаходиться дев'ята дециля;

 - Число спостережень;

- накопичена частота в інтервалі, що передує першому доцільний;

 - Накопичена частота в інтервалі, що передує дев'ятого доцільний;

- частота в першому доцільний інтервалі;

- частота в дев'ятому доцільний інтервалі;

i - Величина інтервалу.




Попередня   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   Наступна

ВСТУП | Тема. Статистика як наука і галузь практичної діяльності | Тема. Статистичне вимірювання і спостереження соціально - економічних явищ | Тема. Зведення і групування статистичних даних | Макет таблиці, що являє собою результат дискретної угруповання | Тема. Графічний і табличний методи подання статистичних даних | Макет комбінаційної таблиці | Тема. Абсолютні і відносні величини | Тема. вибіркове спостереження | вибірка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати