Головна |
Загальне рівняння кривої другого порядку на площині має вигляд:
.
Будь-яка крива другого порядку - це або еліпс (окремий випадок - коло), або гіпербола, або парабола.
Якщо в рівнянні , То воно перетворюється виділенням повних квадратів:
і після введення відповідних позначень приводиться до одного з наступних видів:
1. - Рівняння еліпса з центром в точці і півосями а и b (Рис. 11).
Мал. 11.
якщо , То отримуємо коло радіуса R з центром в точці .
2. - Рівняння визначає гіперболу з центром в точці М0 . Для знака плюс, наприклад, точки , - Вершини гіперболи (рис. 12).
Мал. 12.
Гіпербола має дві асимптоти: .
3. Якщо або , То виходить рівняння параболи, наприклад, для :
.
Рис.13.
Крапка називається фокусом параболи, а пряма називається директоркою параболи (рис. 13).
Крім зазначених, можливі деякі вироджені випадки (коли рівняння визначає пару пересічних, паралельних або співпадаючих прямих) і уявні випадки.
Приклад 1.9. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстані кожної точки якої від точки A(0; -2) і від прямої ставляться як 4: 5.
Рішення. візьмемо точку на шуканої кривої. тоді точка К, Що лежить на прямій , Має координати (МК - Відстань від М до прямої).
Мал. 14.
З умови задачі відомо, що АМ:МК= 4: 5.
Використовуючи формулу для обчислення відстані між двома точками, отримаємо
.
Вирішимо це рівняння:
, ,
,
,
, .
Отримали канонічне уpавненіе еліпса з центром в точці . Напівосі еліпса: , (Рис.15).
Мал. 15.
РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ВИКОНАННЯ | І ОФОРМЛЕННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ | Лінійна алгебра | Системи лінійних рівнянь | Основні визначення | Властивості векторного твори | Властивості змішаного твори | Пряма на площині | Завдання 1.2. | Завдання 1.4. |