Головна

Хаотична динаміка. Приклади хаотичних систем

  1. I. Приклади деяких розподілів дискретних випадкових величин
  2. Архітектура TCP / IP. Коротка характеристика рівневих підсистем. Основні відмінності від моделі OSI.
  3. Види виборчих систем.
  4. Питання. Типи виборчих систем.
  5. Виховна система школи. Різноманіття шкільних виховних систем. Варіативні системи організації виховного процесу в початкових класах
  6. Ось приклади ситуацій другого типу.
  7. г) Приклади розв'язання задачі.

Теорія хаосу - Математичний апарат, що описує поведінку деяких нелінійних динамічних систем, схильних до при певних умовах явищу, відомому як хаос. Поведінка такої системи здається випадковим, навіть якщо модель, що описує систему, є детермінованою.

Прикладами подібних систем є атмосфера, турбулентні потоки, біологічні популяції, суспільство як система комунікацій і його підсистеми: економічні, політичні та інші соціальні системи. Їх вивчення, поряд з аналітичним дослідженням наявних рекурентних співвідношень, зазвичай супроводжується математичним моделюванням, ефект Коновала - розподіл частот випадання позитивних результатів, або прийняття правильних рішень.

Теорія хаосу - область досліджень, що зв'язує математику і фізику.

Динамічна система, процеси в якій характеризуються дивним аттрактором, є хаотичною системою. Динамічна система хаотична тоді і тільки тоді, коли у неї існує незамкнутая фазова траєкторія. На відміну від стійкої динамічної системи визначити стан хаотичної системи за заданим значенням часу і початкових умов неможливо.

Наведемо приклади моделей хаотичних систем.

1. / = + - ,

 = - ,

 = - - ( ) ,

де (  ) = 0 при  0 і (  ) = 1 при  0.

2. Система рівнянь Лоренца - тривимірна система нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку виду

/  = - + ,

/  = - + -  , (1)

 3 / = -

У ній s, b і r - параметри. Ця система виникла в завданню про моделювання конвективного течії рідини, що підігрівається знизу. Таке протягом описується системою диференціальних рівнянь в приватних похідних. Система (1) виходить з неї проектуванням на спеціальне тривимірне підпростір.

В результаті чисельного інтегрування системи (1) Е. Лоренц виявив, що при s = 10, b = 8/3 і r = 28 у цій динамічної системи, з одного боку, спостерігається хаотичне, нерегулярну поведінку всіх траєкторій і все траєкторії притягуються до аттрактору Мал. 1. На рис. 2 приведена залежність  від часу.

Мал. 1. Приклад дивного аттрактора (для завдання Лоренца)

Мал. 2. Хаотичні коливання (залежність змінної x1 від часу в завданню Лоренца)

Перехід до динамічного хаосу в класичних тривимірних дисипативних системах звичайних диференціальних рівнянь. Системи Лоренца, Ресслера, Чуа, Магницького. Багатовимірні нелінійні системи звичайних диференціальних рівнянь.

СИСТЕМА ЛОРЕНЦА.
dx / dt = -a * x + a * y, a> 0
 dy / dt = r * x-y-x * z, r> 0
 dz / dt = -b * z + x * y, b> 0

Рівняння піддавалися всебічному вивченню багатьма авторами, починаючи з Лоренца, який проинтегрировал їх чисельно, використовуючи фіксовані значення керуючих параметрів a = 10, b = 8/3 і єдиний змінний керуючий параметр r.
 При 0 1.345 - фокуси.
 При збільшенні r до величини 13.926 дві нестійкі траєкторії, які виходять з початку координат, повертаються в початок координат при t прагне до нескінченності, при цьому перестають бути глобальними аттракторами. Навпаки, вони оточені; околицями, в яких є локальними. Точка, яка виходить із області, що лежить поза цими околиць, може здійснювати коливальні рухи з одного околиці в іншу і назад. Така поведінка називають метастабільним хаосом (Рис.2).
 При r = 24.74 виникає інверсія біфуркації Хопфа, при r> 24.74 залишається "дивний аттрактор" (рис.3). При великих r в системі існує симетричний цикл (рис.6 - r = 400). Далі при зменшенні параметра відбувається біфуркація втрати симетрії і в системі існують два несиметричних періодичних рішення (рис.5 - r = 300), потім відбувається каскад біфуркації подвоєння (рис.4 - r = 225).

 Кожна з основних областей класичної фізики створила свою модель хаотичної динаміки: гидромеханика - рівняння Лоренца будівельна механіка - аттрактор Дуффінга-Холмса з двома потенційними ямами, електротехніка - аттрактор Дуффінга-Уеди.
 Ще одна проста модель виникла в динаміці хімічних реакцій, що протікають в деякій суміші з перемішуванням. Запропонував її Ресслер:

dx / dt = - (y + z)
 dy / dt = x + a * y
 dz / dt = b + z * (x-c)

Ці рівняння часто досліджувалися при a = b = 0.2. Періодичні руху з періодами 1,2 і 4 можуть бути виявлені при c = 2.6; 3.5 і 4.1 відповідно (див. Рис.1, 2, 3). При c> 4.23 можуть зустрітися хаотичні рухи (рис.4).
 Модель Ресслера має властивості лінійного осцилятора з негативним коефіцієнтом загасання і зворотним зв'язком

y '' - a * y '+ y = -z.

Вона є прикладом багатовимірних систем, динаміка яких допускає апроксимацію одновимірним відображенням. Якщо провести розтин Пуанкаре при y = 0 і побудувати на площині (x, z) одномірне відображення з точок Хn, тобто. побудувати графік залежності Хn + 1 від Xn, то звертає на себе увагу подібність отриманої кривої з квадратичним, або логістичним, відображенням. У моделі Ресслера спостерігається подвоєння періоду.

Ланцюг Чуа - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BF%D1%8C_%D0%A7%D1%83%D0%B0

Класичний геометричний підхід до пояснення явища динамічного хаосу. Гіперболічна теорія. Відображення підкови Смейла, відображення Хенона, соленоїд Смейла-Вільямса. Фрактали. Фрактальна розмірність. Теорія гомоклініческого хаосу.

підкова Смейла - Запропонований Стівом Смейл приклад динамічної системи, що має нескінченне число періодичних точок (і хаотичну динаміку), причому ця властивість не руйнується при малих збуреннях системи.

Соленоїд Смейла - Вільямса - Приклад оборотної динамічної системи, аналогічної з поведінки траєкторій відображенню подвоєння на окружності. Більш точно, ця динамічна система визначена на полноторіі, і за одну її ітерацію кутова координата подвоюється; звідки автоматично виникає експоненціальне розбігання траєкторій і хаотичність динаміки. також соленоидом називають і максимальний аттрактор цієї системи (звідки, власне, і походить назва): він влаштований як (незліченну) об'єднання «ниток», намотуються уздовж полноторія.



Попередня   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   Наступна

Завдання оптимального управління | Завдання Ейлера варіаційного обчислення. Метод Лагранжа-Понтрягіна для безперервних керованих процесів. | Економіка як нелінійна динамічна система. Модель Солоу. | Мультипликативная виробнича функція | умови моделі | Методи і моделі аналізу і прогнозування ринкової кон'юнктури. | Матричні методи. | Моделювання інвестицій та аналіз їх ефективності. | Моделі розвитку і розміщення виробництва. | Моделі багатокритеріальної оптимізації. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати