Головна |
Теорія хаосу - Математичний апарат, що описує поведінку деяких нелінійних динамічних систем, схильних до при певних умовах явищу, відомому як хаос. Поведінка такої системи здається випадковим, навіть якщо модель, що описує систему, є детермінованою.
Прикладами подібних систем є атмосфера, турбулентні потоки, біологічні популяції, суспільство як система комунікацій і його підсистеми: економічні, політичні та інші соціальні системи. Їх вивчення, поряд з аналітичним дослідженням наявних рекурентних співвідношень, зазвичай супроводжується математичним моделюванням, ефект Коновала - розподіл частот випадання позитивних результатів, або прийняття правильних рішень.
Теорія хаосу - область досліджень, що зв'язує математику і фізику.
Динамічна система, процеси в якій характеризуються дивним аттрактором, є хаотичною системою. Динамічна система хаотична тоді і тільки тоді, коли у неї існує незамкнутая фазова траєкторія. На відміну від стійкої динамічної системи визначити стан хаотичної системи за заданим значенням часу і початкових умов неможливо.
Наведемо приклади моделей хаотичних систем.
1. / = + - ,
= - ,
= - - ( ) ,
де ( ) = 0 при 0 і ( ) = 1 при 0.
2. Система рівнянь Лоренца - тривимірна система нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку виду
/ = - + ,
/ = - + - , (1)
3 / = -
У ній s, b і r - параметри. Ця система виникла в завданню про моделювання конвективного течії рідини, що підігрівається знизу. Таке протягом описується системою диференціальних рівнянь в приватних похідних. Система (1) виходить з неї проектуванням на спеціальне тривимірне підпростір.
В результаті чисельного інтегрування системи (1) Е. Лоренц виявив, що при s = 10, b = 8/3 і r = 28 у цій динамічної системи, з одного боку, спостерігається хаотичне, нерегулярну поведінку всіх траєкторій і все траєкторії притягуються до аттрактору Мал. 1. На рис. 2 приведена залежність від часу.
Мал. 1. Приклад дивного аттрактора (для завдання Лоренца)
Мал. 2. Хаотичні коливання (залежність змінної x1 від часу в завданню Лоренца)
Перехід до динамічного хаосу в класичних тривимірних дисипативних системах звичайних диференціальних рівнянь. Системи Лоренца, Ресслера, Чуа, Магницького. Багатовимірні нелінійні системи звичайних диференціальних рівнянь.
СИСТЕМА ЛОРЕНЦА.
dx / dt = -a * x + a * y, a> 0
dy / dt = r * x-y-x * z, r> 0
dz / dt = -b * z + x * y, b> 0
Рівняння піддавалися всебічному вивченню багатьма авторами, починаючи з Лоренца, який проинтегрировал їх чисельно, використовуючи фіксовані значення керуючих параметрів a = 10, b = 8/3 і єдиний змінний керуючий параметр r.
При 0
При збільшенні r до величини 13.926 дві нестійкі траєкторії, які виходять з початку координат, повертаються в початок координат при t прагне до нескінченності, при цьому перестають бути глобальними аттракторами. Навпаки, вони оточені; околицями, в яких є локальними. Точка, яка виходить із області, що лежить поза цими околиць, може здійснювати коливальні рухи з одного околиці в іншу і назад. Така поведінка називають метастабільним хаосом (Рис.2).
При r = 24.74 виникає інверсія біфуркації Хопфа, при r> 24.74 залишається "дивний аттрактор" (рис.3). При великих r в системі існує симетричний цикл (рис.6 - r = 400). Далі при зменшенні параметра відбувається біфуркація втрати симетрії і в системі існують два несиметричних періодичних рішення (рис.5 - r = 300), потім відбувається каскад біфуркації подвоєння (рис.4 - r = 225).
Кожна з основних областей класичної фізики створила свою модель хаотичної динаміки: гидромеханика - рівняння Лоренца будівельна механіка - аттрактор Дуффінга-Холмса з двома потенційними ямами, електротехніка - аттрактор Дуффінга-Уеди.
Ще одна проста модель виникла в динаміці хімічних реакцій, що протікають в деякій суміші з перемішуванням. Запропонував її Ресслер:
dx / dt = - (y + z)
dy / dt = x + a * y
dz / dt = b + z * (x-c)
Ці рівняння часто досліджувалися при a = b = 0.2. Періодичні руху з періодами 1,2 і 4 можуть бути виявлені при c = 2.6; 3.5 і 4.1 відповідно (див. Рис.1, 2, 3). При c> 4.23 можуть зустрітися хаотичні рухи (рис.4).
Модель Ресслера має властивості лінійного осцилятора з негативним коефіцієнтом загасання і зворотним зв'язком
y '' - a * y '+ y = -z.
Вона є прикладом багатовимірних систем, динаміка яких допускає апроксимацію одновимірним відображенням. Якщо провести розтин Пуанкаре при y = 0 і побудувати на площині (x, z) одномірне відображення з точок Хn, тобто. побудувати графік залежності Хn + 1 від Xn, то звертає на себе увагу подібність отриманої кривої з квадратичним, або логістичним, відображенням. У моделі Ресслера спостерігається подвоєння періоду.
Ланцюг Чуа - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BF%D1%8C_%D0%A7%D1%83%D0%B0
Класичний геометричний підхід до пояснення явища динамічного хаосу. Гіперболічна теорія. Відображення підкови Смейла, відображення Хенона, соленоїд Смейла-Вільямса. Фрактали. Фрактальна розмірність. Теорія гомоклініческого хаосу.
підкова Смейла - Запропонований Стівом Смейл приклад динамічної системи, що має нескінченне число періодичних точок (і хаотичну динаміку), причому ця властивість не руйнується при малих збуреннях системи.
Соленоїд Смейла - Вільямса - Приклад оборотної динамічної системи, аналогічної з поведінки траєкторій відображенню подвоєння на окружності. Більш точно, ця динамічна система визначена на полноторіі, і за одну її ітерацію кутова координата подвоюється; звідки автоматично виникає експоненціальне розбігання траєкторій і хаотичність динаміки. також соленоидом називають і максимальний аттрактор цієї системи (звідки, власне, і походить назва): він влаштований як (незліченну) об'єднання «ниток», намотуються уздовж полноторія.
Завдання оптимального управління | Завдання Ейлера варіаційного обчислення. Метод Лагранжа-Понтрягіна для безперервних керованих процесів. | Економіка як нелінійна динамічна система. Модель Солоу. | Мультипликативная виробнича функція | умови моделі | Методи і моделі аналізу і прогнозування ринкової кон'юнктури. | Матричні методи. | Моделювання інвестицій та аналіз їх ефективності. | Моделі розвитку і розміщення виробництва. | Моделі багатокритеріальної оптимізації. |