Головна

Застосування методу аналізу розмірностей в гідродинаміки

  1. II. КЛАСИФІКАЦІЯ ПОНЯТЬ З ВИКОРИСТАННЯМ КОНЛАНГА Огір
  2. Автоматичний гематологічний аналізатор - Sysmex KX-21N
  3. Адміністратора будь-якого рівня управління, що організує роботу, керуючись сучасними методами та ін.
  4. Адреноблокатори: класифікація, механізми і особливості ги потензівного дії, застосування, побічні ефекти, протипоказання до застосування.
  5. Алгоритм дискретного методу
  6. Алгоритм методу переміщень
  7. Алгоритм методу сил

1. Багато процесів хімічної технології залежать від такого великого числа різних факторів (тобто є дуже складними), що для них не вдається отримати повного математичного опису; можна лише в найзагальнішому вигляді уявити залежність між різними змінними, що впливають на перебіг процесу.

Для відшукання конкретного виду такої функціональної залежності, тобто для знаходження релейного рівняння може бути застосований метод аналізу розмірностей.

2. Проілюструємо застосування загальних принципів аналізу розмірності до приватної задачі визначення в загальному вигляді перепаду тисків при русі рідини по трубопроводу.

Припустимо, що диференціальні рівняння, що описують процес (рівняння Нав'є-Стокса) відсутні. Відомо лише, що при сталому русі рідини по прямій трубі перепад тисків  залежить від:

швидкості рідини - W,

її щільності - ?,

її в'язкості - ?,

прискорення сили тяжіння - g,

довжини труби - l,

її еквівалентного діаметра - dэ.

Таким чином відома тільки функціональна залежність загального вигляду:

 , (1)

в даному випадку число змінних n = 7, число їх основних одиниць виміру (довжина, час і маса) m = 3.

3. В основу методу покладена ?-теорема Бекінгема, згідно з якою "загальну функціональну залежність (1), яка б пов'язала між собою n змінних величин при m основних одиницях їх вимірювання, можна представити у вигляді залежності між (n - m) Безрозмірними комплексами цих величин, а при наявності подібності - у вигляді зв'язку між (n - m) Критеріями подібності ".

тоді згідно ?-теореме число безрозмірних комплексів, що описують процес, має дорівнювати

(n - m) = 7 - 3 = 4.

4. Уявімо вихідну функцію в статечному вигляді:

 . (2)

Приймемо, що розмірності всіх основних величин, що характеризують процес, виражаються через основні одиниці вимірювання в системі СІ, а саме:

одиниця довжини L - (М)

часу Т - (С)

маси М - (Кг).

5. Висловимо розмірності всіх величин в одиницях довжини, часу і маси:

У цих виразах размерностей показники ступеня при L, T и M - Деякі певні числові величини.

6. З огляду на, що розмірності обох частин рівняння (2) однакові, а x - Безрозмірний коефіцієнт, замінимо в ньому все величини з розмірністю

,

або при підстановці конкретного вираження размерностей кожної величини

7. Розкриваючи дужки в правій частині і групуючи однорідні члени, знаходимо

.

8. Дорівнявши показники ступенів при однакових основних одиницях в обох частинах рівняння, отримаємо систему

1 = z + u

-1 = y - 3z - u + r + s + t

-2 = -y - u -2r

У даній системі з трьох рівнянь є шість невідомих, тому будь-які три з цих змінних можна виразити через три інших. Висловимо, наприклад, y, z и t через u, r, і s

y = 2 - 2r - u (З 3 рівняння)

z = 1 - u (З 1 рівняння)

і підставимо в 2 рівняння системи, вирішуючи його відносно t

t = -1 - y + 3z + u - r - s або після підстановки

t = -1 - (2 - 2r - u) + 3 (1u) +u - r - s =

= -1 - 2 +2r + u + 3 - 3u + u - r - s = r - s - u

t = r - s - u

9. Підставами значення показників ступенів y, z и t в шукану ступеневу функцію (2)

,

або .

10. Згрупувавши тепер окремі величини, знаходимо узагальнену залежність для визначення перепаду тиску:

 , (3)

або .

11. Таким чином шукана функція представлена ??відповідно до ?-теоремой, у вигляді співвідношення між чотирма безрозмірними комплексами величин, в даному випадку - критеріями Eu, Re, Fr, Г. Числові значення коефіцієнта x і показників ступенів u, r и s повинні бути знайдені дослідним шляхом. В кінцевому підсумку отримують розрахункове рівняння для визначення  . Знайдена узагальнена залежність (3), ідентична рівняння (3) стр. 11, якщо врахувати, що при сталому русі рідини критерій гомохронності (але) З нього треба виключити.

12. Для користування методом аналізу розмірностей необхідно заздалегідь знати, які змінні повинні входити в залежність загального вигляду (1) стор. 11. Якщо при складанні такої вихідної залежності не врахувати тих чи інших параметрів, які суттєво впливають на процес, то це може привести до серйозних помилок при отриманні кінцевого розрахункового рівняння, що є недоліком методу аналізу розмірностей.

При відсутності надійних вихідних даних, що випливають з фізичної сутності процесу, в разі застосування даного методу для їх з'ясування нерідко доводиться використовувати інженерну інтуїцію.

13. Таким чином, при правильному виборі величин, що входять у вихідну функцію, метод аналізу розмірностей дозволяє (не маючи повного математичного опису процесу) отримати ту ж кінцеву узагальнену залежність, яка може бути виведена подібним перетворенням диференціальних рівнянь Нав'є-Стокса.



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   Наступна

Рівняння Бернуллі для усталеного руху ідеальної рідини | Основи теорії подібності | гідродинамічний подобу | автомодельності |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати