загрузка...
загрузка...
На головну

Інтегрування дробово-раціональних функцій

  1. Список похідних найпростіших елементарних функцій
  2. Hайти межі функцій, користуючись правилом Лопіталя (для випадків, коли воно є).
  3. I. 3.2. Залежність психічних функцій від середовища і будови органів
  4. Американський список функцій
  5. Анатомо-морфологічна база вищих психічних функцій
  6. Б. Особливості нервового і гуморального механізмів регуляції функцій організму.
  7. Бюджетні витрати - це грошові кошти, що направляються на фінансове забезпечення завдань і функцій держави та місцевого самоврядування.

Дрібно-раціональної функцією (раціональної дробом) називається відношення двох многочленів. Якщо ступінь многочлена, що стоїть в чисельнику дробу, що не менше, ніж ступінь многочлена в знаменнику, то в цій дробу слід виділити цілу частину, тобто представити її у вигляді:

R (x) +

де R (x), P (x), Q (x) - многочлени, причому ступінь P (x) менше ступеня Q (x). раціональний дріб  , Що володіє цією властивістю, називається правильною. Для інтегрування такий дробу її необхідно розкласти в суму найпростіших дробів, які легко інтегруються:

тобто цей квадратний тричлен не має дійсних коренів (інтегрування найпростіших дробів останнього типу буде показано нижче на прикладі). Зупинимося докладніше на методиці розкладання правильної раціональної дробу  в суму найпростіших дробів. Це відбувається за наступною схемою:

1. Спочатку знаменник дробу Q (x) необхідно розкласти на множники виду: x-a, (x- .

При цьому часто використовується теорема Вієта: якщо квадратний тричлен  має коріння  то

 = A (x- .

2. Далі слід записати розкладання дробу  в суму найпростіших дробів, залишаючи невизначеними коефіцієнтами А, В, С, D і т.д. При цьому кожному множнику виду (x-a) відповідає дріб  , Множнику виду (  відповідає сума дробів:

,

а множнику виду  , Якщо він не має дійсних коренів (  , Відповідає дріб виду:

.

3. Для визначення коефіцієнтів A, B, C, D, E в цьому розкладанні слід прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях x у многочлена P (x) і многочлена, який виходить в чисельнику після приведення записаної суми найпростіших дробів до спільного знаменника (метод невизначених коефіцієнтів ). Можна також знаходити ці коефіцієнти шляхом порівняння значень зазначених многочленів при конкретних значеннях x (в першу чергу, при x, що збігаються з корінням знаменника Q (x).

Обчислити інтеграл:

1)

Рішення. Зробимо перетворення:

;  , Приводимо до спільного знаменника.

отже,  , Розкриваємо дужки в чисельнику

2x + 1 =

Прирівнюємо коефіцієнти при x. Тут коефіцієнт при  в лівій частині дорівнює 0, отже A + B = 0; коефіцієнт при x = 2, тому

2A + B + C = 2.

Вільний член в лівій частині дорівнює 1, це означає, що A = 1

Отже,

2)

Рішення:

 дріб  є неправильною; виділимо цілу частину:

Рішення:

 дріб  є неправильною; виділимо цілу частину:

Таким чином, .

Перш ніж приступити до інтегрування, необхідно розкласти дріб  на суму найпростіших дробів. В силу теореми дана дріб може бути представлена ??у вигляді

невідомі коефіцієнти  знаходимо наступним чином

Порівнюючи числители вихідної дробу і дробу з невідомими коефіцієнтами  отримуємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Отже,

.

2) ;

Рішення:

розкладемо дріб  на суму найпростіших:

.

Невідомі коефіцієнти A, B, C знаходимо з системи:

Отже, .

3) ;

Рішення:

дріб  має наступне розкладання на суму найпростіших дробів:

.

Коефіцієнти A, B, C знаходяться з наступної системи:

Отже,

самостійно:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

відповіді:

1)  2)

 4)

Таким чином, .

Перш ніж приступити до інтегрування, необхідно розкласти дріб  на суму найпростіших дробів. В силу теореми дана дріб може бути представлена ??у вигляді

невідомі коефіцієнти  знаходимо наступним чином

Порівнюючи числители вихідної дробу і дробу з невідомими коефіцієнтами  отримуємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Отже,

.

2) ;

Рішення:

розкладемо дріб  на суму найпростіших:

.

Невідомі коефіцієнти A, B, C знаходимо з системи:

Отже, .

3) ;

Рішення:

дріб  має наступне розкладання на суму найпростіших дробів:

.

Коефіцієнти A, B, C знаходяться з наступної системи:

Отже,

самостійно:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

відповіді:

1)  2)

 4)

 



1   2   3   4   5   6

Тема 1. Невизначений інтеграл. | Властивості невизначеного інтеграла | методи інтегрування | Інтегрування заміною змінної (метод постановки) |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати