Головна |
Дрібно-раціональної функцією (раціональної дробом) називається відношення двох многочленів. Якщо ступінь многочлена, що стоїть в чисельнику дробу, що не менше, ніж ступінь многочлена в знаменнику, то в цій дробу слід виділити цілу частину, тобто представити її у вигляді:
R (x) +
де R (x), P (x), Q (x) - многочлени, причому ступінь P (x) менше ступеня Q (x). раціональний дріб , Що володіє цією властивістю, називається правильною. Для інтегрування такий дробу її необхідно розкласти в суму найпростіших дробів, які легко інтегруються:
тобто цей квадратний тричлен не має дійсних коренів (інтегрування найпростіших дробів останнього типу буде показано нижче на прикладі). Зупинимося докладніше на методиці розкладання правильної раціональної дробу в суму найпростіших дробів. Це відбувається за наступною схемою:
1. Спочатку знаменник дробу Q (x) необхідно розкласти на множники виду: x-a, (x- .
При цьому часто використовується теорема Вієта: якщо квадратний тричлен має коріння то
= A (x- .
2. Далі слід записати розкладання дробу в суму найпростіших дробів, залишаючи невизначеними коефіцієнтами А, В, С, D і т.д. При цьому кожному множнику виду (x-a) відповідає дріб , Множнику виду ( відповідає сума дробів:
,
а множнику виду , Якщо він не має дійсних коренів ( , Відповідає дріб виду:
.
3. Для визначення коефіцієнтів A, B, C, D, E в цьому розкладанні слід прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях x у многочлена P (x) і многочлена, який виходить в чисельнику після приведення записаної суми найпростіших дробів до спільного знаменника (метод невизначених коефіцієнтів). Можна також знаходити ці коефіцієнти шляхом порівняння значень зазначених многочленів при конкретних значеннях x (в першу чергу, при x, що збігаються з корінням знаменника Q (x).
Обчислити інтеграл:
1)
Рішення. Зробимо перетворення:
; , Приводимо до спільного знаменника.
отже, , Розкриваємо дужки в чисельнику
2x + 1 =
Прирівнюємо коефіцієнти при x. Тут коефіцієнт при в лівій частині дорівнює 0, отже A + B = 0; коефіцієнт при x = 2, тому
2A + B + C = 2.
Вільний член в лівій частині дорівнює 1, це означає, що A = 1
Отже,
2)
Рішення:
|
|
Рішення:
|
|
Таким чином, .
Перш ніж приступити до інтегрування, необхідно розкласти дріб на суму найпростіших дробів. В силу теореми дана дріб може бути представлена ??у вигляді
невідомі коефіцієнти знаходимо наступним чином
Порівнюючи числители вихідної дробу і дробу з невідомими коефіцієнтами отримуємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
Отже,
.
2) ;
Рішення:
розкладемо дріб на суму найпростіших:
.
Невідомі коефіцієнти A, B, C знаходимо з системи:
Отже, .
3) ;
Рішення:
дріб має наступне розкладання на суму найпростіших дробів:
.
Коефіцієнти A, B, C знаходяться з наступної системи:
Отже,
самостійно:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
відповіді:
1) 2)
4)
Таким чином, .
Перш ніж приступити до інтегрування, необхідно розкласти дріб на суму найпростіших дробів. В силу теореми дана дріб може бути представлена ??у вигляді
невідомі коефіцієнти знаходимо наступним чином
Порівнюючи числители вихідної дробу і дробу з невідомими коефіцієнтами отримуємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
Отже,
.
2) ;
Рішення:
розкладемо дріб на суму найпростіших:
.
Невідомі коефіцієнти A, B, C знаходимо з системи:
Отже, .
3) ;
Рішення:
дріб має наступне розкладання на суму найпростіших дробів:
.
Коефіцієнти A, B, C знаходяться з наступної системи:
Отже,
самостійно:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
відповіді:
1) 2)
4)
Тема 1. Невизначений інтеграл. | Властивості невизначеного інтеграла | методи інтегрування | Інтегрування заміною змінної (метод постановки) |