Головна |
1. Сучасна теорія моделювання гідравлічних процесів і машин заснована на теорії гідравлічного подібності.
У більшості явищ природи, в тому числі і гідравлічних, діють сили декількох і притому різних категорій. Для встановлення критеріїв подібності необхідно розглянути диференціальні рівняння руху, що описують досліджувані явища.
2. Розглянемо рівняння Нав'є-Стокса, що описує рух в'язкої рідини крапельної рідини. Як нами вже зазначалося раніше, диференціальні рівняння Нав'є-Стокса неможливо вирішити для більшості практично важливих випадків. Теорія подібності дозволяє перетворити рівняння Нав'є-Стокса м отримати з них деяку загальну функціональну залежність між критеріями подібності, що характеризують сили, що діють при русі в'язкої рідини.
3. Перепишемо рівняння Нав'є-Стокса для крапельної рідини в розгорнутому вигляді для однієї з осей - вертикальної осі z
,
розгорнемо це рівняння
4. Для подібного перетворення цього рівняння скористаємося правилом: критерії подібності можна отримати шляхом ділення лівої частини диференціального рівняння на праву (або навпаки) і подальшого відкидання знаків математичних операторів.
5. Якщо рух рідини стале, то її швидкість не залежить від часу, тобто член .
а) При цьому, замінюючи в лівій частині рівняння, що характеризує силу інерції, диференціали кінцевими величинами, знаходимо
~ .
б) У правій частині рівняння член, що відображає дію сили тяжіння, дорівнює ?.g.
в) Член , Що характеризує дію сили тиску, можна замінити відношенням , тобто ~ .
г) Нарешті, останній доданок правої частини рівності, що відображає дію сили тертя
~ .
6. Розділимо члени правої частини рівняння на член лівої частини і знайдемо таким чином вирази, що характеризують співвідношення між відповідними силами і силою інерції, або інакше кажучи, висловимо ці сили в відносних одиницях, прийнявши за масштаб силу інерції.
В результаті отримаємо безрозмірні співвідношення величин - критерії подібності.
а) Критерій Фруда
характеризує відношення сили тяжіння до інерційної силі
Щоб уникнути чисел, менших одиниці, вважають за краще користуватися зворотним виразом
.
Критерій Фруда відображає вплив сил тяжіння, або власної ваги на рух рідини. Він є відношенням сили інерції до сили тяжіння в подібних потоках
б) Критерій Ейлера
співвідношення між силами тиску і інерції
Зазвичай цим критерієм надають дещо інший вигляд, вводячи замість абсолютного тиску p різниця тисків між будь-якими двома точками рідини
.
Критерій Ейлера відображає вплив перепаду гідростатичного тиску на рух рідини.
Його величина характеризує відношення зміни сили гідростатичного тиску до сили інерції в подібних потоках.
в) Критерій Рейнольдса
є мірою відносини сили тертя до сили інерції
Або, знову-таки, щоб уникнути чисел, менших одиниці, напишемо зворотне відношення
.
Критерій Рейнольдса відображає вплив сили тертя на рух рідини. Його величина характеризує відношення сил інерції до сил тертя в подібних потоках
величина l в умовах Fr, Eu, і Re може бути замінена на d (При русі рідини по трубах).
г) Критерій гомохронності.
При несталому русі рідини в рівнянні Нав'є-Стокса
.
Замінивши член, що відображає вплив нестаціонарності руху
~ ,
охарактеризуємо співвідношення між цією величиною і силою інерції
або зворотна величина .
Критерій гомохронності враховує несталий характер руху в подібних потоках.
7. Згідно з другою теоремою подібності, рішення рівнянь Нав'є-Стокса можна тепер уявити у вигляді функціональної залежності між отриманими критеріями, тобто
.
У ряді випадків ця залежність повинна бути доповнена симплекс геометричної подоби. При русі рідини через трубки таким симплексом є ставлення
або .
Тоді критеріальне рівняння набирає вигляду
.
8. При найбільш важливою для практики формулюванні завдання (визначення витрат енергії - перепаду тиску, - пов'язаних з проштовхуванням рідини через канал) всі вхідні в рівняння критерії, крім критерію Eu, Служать визначальними, так як вони складені виключно з величин, які визначають умови однозначності.
В критерій же Ейлера входить величина перепаду тиску , Яка залежить від , Фізичних властивостей рідини і розподілу швидкостей біля входу в трубу і у її стінок (початкові і граничні умови). Тому відповідно до третьої теоремі подоби, для подібності необхідно і достатньо дотримання рівності значень Ho, Fr, Re и . Наслідком виконання цих умов буде також рівність значень визначається критерію Eu в подібних точках подібних потоків. Тому останнє рівняння можна представити як
. (1)
Це узагальнена критеріальне рівняння гідродинаміки.
9. Функцію (1) найбільш часто апроксимують статечної залежністю, тобто
(2)
або після підстановки відповідних безрозмірних комплексів величин
. (3)
Шляхом обробки дослідних даних, отриманих на моделях, знаходять числові величини коефіцієнта A і показників ступенів m, n, p, q при відповідних умовах.
При обробці і узагальненні досвідчених даних за допомогою статечних залежностей типу рівняння (2) результати експериментів зазвичай представляють графічно у логарифмічних координатах. наприклад:
Це дозволяє отримувати прямі, тангенси кута нахилу (?) Яких чисельно дорівнюють значенням показників ступенів, а відрізки, що відсікаються від осі ординат (а) - Коефіцієнтам А.
З рівняння (3) зазвичай визначають величину , Що входить в критерій Eu. Зокрема, під час руху рідини через трубопроводи і апарати так знаходиться втрата тиску (напору).
10. Якщо рух є сталим, то критерій гомохронності може бути виключений з рівняння (2).
Отже, для усталеного руху узагальнене рівняння гідродинаміки має вигляд
(4)
або в більш загальній формі
,
де - Симплекси геометричної подоби.
Рівняння Бернуллі для усталеного руху ідеальної рідини | Модифіковані і похідні критерії подібності | Застосування методу аналізу розмірностей в гідродинаміки |