Головна

гідродинамічний подобу

  1. Художній вимисел. Умовність і життєподібність

1. Сучасна теорія моделювання гідравлічних процесів і машин заснована на теорії гідравлічного подібності.

У більшості явищ природи, в тому числі і гідравлічних, діють сили декількох і притому різних категорій. Для встановлення критеріїв подібності необхідно розглянути диференціальні рівняння руху, що описують досліджувані явища.

2. Розглянемо рівняння Нав'є-Стокса, що описує рух в'язкої рідини крапельної рідини. Як нами вже зазначалося раніше, диференціальні рівняння Нав'є-Стокса неможливо вирішити для більшості практично важливих випадків. Теорія подібності дозволяє перетворити рівняння Нав'є-Стокса м отримати з них деяку загальну функціональну залежність між критеріями подібності, що характеризують сили, що діють при русі в'язкої рідини.

3. Перепишемо рівняння Нав'є-Стокса для крапельної рідини в розгорнутому вигляді для однієї з осей - вертикальної осі z

,

розгорнемо це рівняння

4. Для подібного перетворення цього рівняння скористаємося правилом: критерії подібності можна отримати шляхом ділення лівої частини диференціального рівняння на праву (або навпаки) і подальшого відкидання знаків математичних операторів.

5. Якщо рух рідини стале, то її швидкість не залежить від часу, тобто член .

а) При цьому, замінюючи в лівій частині рівняння, що характеризує силу інерції, диференціали кінцевими величинами, знаходимо

~ .

б) У правій частині рівняння член, що відображає дію сили тяжіння, дорівнює ?.g.

в) Член  , Що характеризує дію сили тиску, можна замінити відношенням  , тобто ~ .

г) Нарешті, останній доданок правої частини рівності, що відображає дію сили тертя

~ .

6. Розділимо члени правої частини рівняння на член лівої частини і знайдемо таким чином вирази, що характеризують співвідношення між відповідними силами і силою інерції, або інакше кажучи, висловимо ці сили в відносних одиницях, прийнявши за масштаб силу інерції.

В результаті отримаємо безрозмірні співвідношення величин - критерії подібності.

а) Критерій Фруда

 характеризує відношення сили тяжіння до інерційної силі

Щоб уникнути чисел, менших одиниці, вважають за краще користуватися зворотним виразом

.

Критерій Фруда відображає вплив сил тяжіння, або власної ваги на рух рідини. Він є відношенням сили інерції до сили тяжіння в подібних потоках

б) Критерій Ейлера

співвідношення між силами тиску і інерції

Зазвичай цим критерієм надають дещо інший вигляд, вводячи замість абсолютного тиску p різниця тисків  між будь-якими двома точками рідини

.

Критерій Ейлера відображає вплив перепаду гідростатичного тиску на рух рідини.

Його величина характеризує відношення зміни сили гідростатичного тиску до сили інерції в подібних потоках.

в) Критерій Рейнольдса

є мірою відносини сили тертя до сили інерції

Або, знову-таки, щоб уникнути чисел, менших одиниці, напишемо зворотне відношення

.

Критерій Рейнольдса відображає вплив сили тертя на рух рідини. Його величина характеризує відношення сил інерції до сил тертя в подібних потоках

величина l в умовах Fr, Eu, і Re може бути замінена на d (При русі рідини по трубах).

г) Критерій гомохронності.

При несталому русі рідини в рівнянні Нав'є-Стокса

.

Замінивши член, що відображає вплив нестаціонарності руху

~ ,

охарактеризуємо співвідношення між цією величиною і силою інерції

 або зворотна величина .

Критерій гомохронності враховує несталий характер руху в подібних потоках.

7. Згідно з другою теоремою подібності, рішення рівнянь Нав'є-Стокса можна тепер уявити у вигляді функціональної залежності між отриманими критеріями, тобто

.

У ряді випадків ця залежність повинна бути доповнена симплекс геометричної подоби. При русі рідини через трубки таким симплексом є ставлення

 або .

Тоді критеріальне рівняння набирає вигляду

.

8. При найбільш важливою для практики формулюванні завдання (визначення витрат енергії - перепаду тиску, - пов'язаних з проштовхуванням рідини через канал) всі вхідні в рівняння критерії, крім критерію Eu, Служать визначальними, так як вони складені виключно з величин, які визначають умови однозначності.

В критерій же Ейлера входить величина перепаду тиску  , Яка залежить від  , Фізичних властивостей рідини і розподілу швидкостей біля входу в трубу і у її стінок (початкові і граничні умови). Тому відповідно до третьої теоремі подоби, для подібності необхідно і достатньо дотримання рівності значень Ho, Fr, Re и  . Наслідком виконання цих умов буде також рівність значень визначається критерію Eu в подібних точках подібних потоків. Тому останнє рівняння можна представити як

 . (1)

Це узагальнена критеріальне рівняння гідродинаміки.

9. Функцію (1) найбільш часто апроксимують статечної залежністю, тобто

 (2)

або після підстановки відповідних безрозмірних комплексів величин

 . (3)

Шляхом обробки дослідних даних, отриманих на моделях, знаходять числові величини коефіцієнта A і показників ступенів m, n, p, q при відповідних умовах.

 При обробці і узагальненні досвідчених даних за допомогою статечних залежностей типу рівняння (2) результати експериментів зазвичай представляють графічно у логарифмічних координатах. наприклад:

Це дозволяє отримувати прямі, тангенси кута нахилу (?) Яких чисельно дорівнюють значенням показників ступенів, а відрізки, що відсікаються від осі ординат (а) - Коефіцієнтам А.

З рівняння (3) зазвичай визначають величину  , Що входить в критерій Eu. Зокрема, під час руху рідини через трубопроводи і апарати так знаходиться втрата тиску (напору).

10. Якщо рух є сталим, то критерій гомохронності може бути виключений з рівняння (2).

Отже, для усталеного руху узагальнене рівняння гідродинаміки має вигляд

 (4)

або в більш загальній формі

,

де  - Симплекси геометричної подоби.



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   Наступна

Рівняння Бернуллі для усталеного руху ідеальної рідини | Модифіковані і похідні критерії подібності | Застосування методу аналізу розмірностей в гідродинаміки |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати