загрузка...
загрузка...
На головну

Основи теорії подібності

  1. I. Теоретичні основи формування артикуляційної моторики у дітей.
  2. II.1. основи державності
  3. IV. 14.2. Фізіологічні основи емоційних станів
  4. V. 16.2. Фізіологічні основи темпераменту
  5. V. 17.2. Фізіологічні основи характеру
  6. VI. 1. ОСНОВИ РОСІЙСЬКОЇ орфоепія
  7. XII. Теорії суспільного розвитку в 20 столітті.

1. Шляхи дослідження процесів.

Вивчення процесів з метою отримання рівнянь, необхідних для їх аналізу і розрахунку можна проводити по-різному:

I. Теоретичне дослідження. Це найбільш бажаний шлях дослідження, зводиться до складання (на основі найзагальніших законів фізики і хімії) і розв'язання математичних залежностей, найчастіше диференціальних рівнянь, повністю описують процес.

Прикладом важливих для практики розрахункових залежностей, отриманих рішенням відповідних диференціальних рівнянь, є розглянуте вище основне рівняння гідростатики і рівняння Бернуллі.

Диференціальні рівняння описують цілий клас однорідних за своєю сутністю явищ, і для виділення з нього конкретного явища необхідно обмежити зазначені рівняння додатковими умовами (умовами однозначності).

умови однозначності

Вони включають в себе:

1. Геометричну форму і розміри апарату, в якому протікає процес.

2. Фізичні константи (істотні) беруть участь в процесі речовин.

3. Початкові умови (початкові W, t, Концентрація і ін.)

4. Граничні умови, що характеризують стану на кордонах системи (наприклад, рівність нулю швидкості рідини у стінок труби і т.д.)

Таким чином, диференціальні рівняння повинні вирішуватися в сукупності з умовами однозначності в встановлюваних останніми межах.

Однак багато процесів, особливо процеси хімічної технології характеризуються великим числом змінних і настільки складні, що не можуть бути вирішені відомими в математиці методами (наприклад, рівняння Нав'є-Стокса, вирішення яких неможливо для важливого практичного випадку, а саме для здійснення гідравлічного опору при турбулентному режимі ).

Більш того, для дуже складних процесів навіть не можна скласти систему диференціальних рівнянь, що описують повно даний процес. Таким чином, теоретичний висновок розрахункових залежностей, необхідних для проектування, часто виявляється недостатнім або неможливим.

II. Експериментальне дослідження. Для знаходження зв'язку між величинами, що характеризують процес, вдаються до твору дослідів. На основі дослідних даних отримують емпіричні рівняння, які є приватними і не можуть бути поширені на умови, відмінні від тих, для яких вони отримані. Ці приватні емпіричні рівняння мають відому цінність і використовуються в інженерній практиці.

Однак, найбільш плідно таке здійснення експериментів, яке дозволяє узагальнювати результати дослідів і поширювати їх на широке коло явищ, подібних вивченого, але відрізняються чисельними значеннями характерних параметрів (наприклад, розмірами апарату, величинами основних фізичних властивостей середовища і т.д.)

Це досягається при використанні для обробки дослідних даних методом теорії подібності.

2. Сутність теорії подібності.

теорія подібності є вченням про методи наукового узагальнення експерименту.

Теорія подібності вказує:

I. Як треба ставити досліди.

II. Як обробляти результати дослідів, щоб при проведенні невеликого числа експериментів мати можливість відібрати досвідчені дані.

Теорія подібності дозволяє:

I. Замість трудомістких дослідів на промисловій установці виконувати дослідження на моделях значно меншого розміру. (Бекеланд: "Проведення дослідів на моделях дозволяє робити помилки в малому масштабі, а вигоди отримувати у великій").

II. Досліди можна проводити не з робочими речовинами (часто шкідливими і небезпечними) і не в жорстких умовах (висока t, Сильно агресивні середовища) реального виробництва, а з іншими (модельними) речовинами в умовах, що відрізняються від промислових.

III. Дозволяє отримувати в результаті єдині (узагальнені) рівняння для всіх подібних явищ.

Таким чином, під моделюванням розуміють метод дослідження, при якому замість цікавить нас процесу або явища, що протікає в якомусь об'єкті (натурі), вивчається відповідний процес на іншому об'єкті (моделі).

Різновидом моделювання є математичне моделювання, При якому різні процеси відтворюються на електричних моделях - електронно-обчислювальних машинах (ЕОМ).

Особливості теорії подібності:

I. Треба мати на увазі, що теорія подібності не може дати більше того, що міститься у вихідних рівняннях, що описують досліджуваний процес.

II. Вона лише дозволяє за допомогою узагальнення результатів дослідів знайти інтегральні рішення цих рівнянь, дійсні для групи подібних явищ в досліджених межах. Якщо вихідні рівняння невірно описують фізичну сутність процесу, то і кінцеві результати, отримані при використанні методів теорії подібності, будуть неправильними.

Значення теорії подібності:

I. Дозволяє швидко і економічно досліджувати процеси і з достатнім ступенем надійності переходити від лабораторних масштабів до виробничих, зберігаючи при цьому інтенсивність і інші оптимальні показники даного процесу.

II. За останні роки серйозні успіхи у вивченні різних процесів, в тому числі і таких складних, як хімічні процеси в промисловій апаратурі, досягнуті завдяки використанню математичного моделювання. Цей напрямок досліджень продовжує успішно розвиватися.

III. Радянським ученим належить провідна роль у розвитку теорії і техніки гідравлічного моделювання, в розвитку теорії подібності - основи гідравлічного моделювання. Тут можна відзначити роботи В. Л. Кіріічева, Н. Н. Павловського, М. З. Абрамова, Л. Г. Лойцянський, С. Т. Алтунина і ін. Велика заслуга в справі розвитку експериментально-теоретичних досліджень на основі моделювання належить Всесоюзному науково-дослідному інституту гідротехніки (ВНИИГ) і ряду інших інститутів.

3. Види подібності.

Подібними називаються явища, для яких відносини характеризують їх подібних величин постійні.

 Розглянемо приклади подібного руху в'язкої рідини в натурі (у виробничому трубопроводі) і в її зменшеною моделлю.

и

и  подібні точки.

и

Розрізняють такі види подібності:

I. геометрична подібність дотримується при рівності відносин всіх подібних лінійних розмірів натури і моделі

,

де и  і т.д. - Шляхи, прохідні подібними частками рідини від входу до довільної точки, подібної для натури і моделі; Kl - Константа геометричного подібності.

II. кинематическое подобу. При подібному русі подібних частинок їх траєкторії в натурі і в моделях повинні бути подібні.

III. тимчасове подобу, Характеризується тим, що подібні частинки в геометрично подібних системах, рухаючись по геометрично подібним траєкторіям, проходять геометрично подібні шляхи, за проміжки часу, відносини яких є величиною постійною.

,

де Т' и Т'' - Час проходження подібними частками всього трубопроводу; К? - Константа тимчасового подоби.

IV. подоба швидкостей - При дотриманні геометричного і тимчасового подоби дотримується також подобу швидкостей

.

V. Подоба фізичних величин передбачає, що для двох будь-яких подібних точок натури і моделі, розміщених подібно в просторі і часі (тобто при дотриманні геометричного і тимчасового подоби), відносини фізичних властивостей є величинами постійними

.

Співвідношення щільності (сталість) отримало ще назву динамічного подоби.

і т.д.

VI. Подоба початкових і граничних умов передбачає, що ставлення основних параметрів на початку і на кордоні натури і моделі є відповідно величинами постійними. Іншими словами, для початкових і граничних умов необхідно дотримуватися геометричне тимчасове і фізична подібність, як і для інших подібних точок натури і моделі.

4. Інваріанти подібності.

Подоба потоків в натурі і в моделі можна охарактеризувати за допомогою інваріантів подоби - Можна висловити все подібні величини в відносних одиницях, тобто у вигляді відносин подібних величин в межах кожної системи. Так наприклад

,

причому inv або idem означає інваріант або "один і той же".

il - Інваріант подоби геометричних величин.

Аналогічно можна отримати і інші інваріанти, наприклад,

 і т.д.

5. Критерії подібності.

I. Інваріанти подібності, виражені відношенням двох однорідних величин (параметрів) називаються параметричних критерієм або симплексом.

II. Інваріанти подібності, виражені відношенням різнорідних фізичних величин (декількох) називаються комплексами цих величин, вони безрозмірно

.

III. Якщо інваріанти подібності виражаються комплексами величин, отриманими перетворенням диференціальних рівнянь, що описують процес, то їх називають критеріями подібності.

Критерій подібності завжди має фізичний сенс, будучи мірою співвідношення між якимись двома ефектами (силами і т.п.) істотними для даного процесу.

В силу безрозмірності чисельні значення критеріїв подібності, як і констант і інваріантів подоби, що не залежать від застосовуваної системи одиниць. Критерії подібності можуть бути отримані для будь-якого процесу, якщо відомі диференціальні рівняння, що описують процес.

6. Теореми подібності.

Основні положення теорії подібності узагальнюються теоремами подібності. Ці теореми лежать в основі практичного застосування теорії подібності.

I. Перша теорема подібності (Ньютона): "Подібні явища характеризуються чисельно рівними критеріями подібності".

Ця теорема подібності вказує, які величини слід вимірювати при проведенні дослідів, які входять в критерії подібності.

II. Друга теорема подібності (Бекінгема, Федерман і Афанасьєвої-Еренфест).

"Рішення будь-якого диференціального рівняння, що зв'язує між собою змінні, що впливають на процес, може бути представлено у вигляді залежності між безрозмірними компонентами цих величин, тобто між критеріями подібності".

Якщо позначати критерії подібності через П1, П2, П3... Пn, То рішення диференціального рівняння може бути представлене в загальному вигляді:

 . (1)

Такі рівняння називаються критеріальними рівняннями.

Критерії подібності, які складені тільки з величин, що входять в умови однозначності, називаються пропределяет.

Критерії, що включають величини, які не є необхідними для однозначної характеристики даного процесу, а самі залежать від цих умов, називаються обумовленими.

Який з критеріїв є визначальним, залежить від формулювання завдання. Наприклад, в разі руху рідини по трубах, якщо задані:

I. Форма труби (тобто відношення  ).

II. Фізичні властивості рідини (в'язкість, щільність).

III. Розподіл швидкостей біля входу в трубу і у її стінок (тобто початкові і граничні умови),

то сукупність цих умов однозначно визначає швидкість в будь-якій точці труби і перепад тиску (напори) між будь-якими двома її точками).

При такому формулюванні завдання, коли знаходиться перепад тисків, критерій гідродинамічної подібності, в який крім умов однозначності входить величина  , Що залежить від них, буде визначальним.

З критериального рівняння, що представляє собою функціональну залежність між критеріями подібності, розрахувавши попередньо величини визначальних критеріїв, знаходять величину визначається критерію, а з нього - чисельне значення, що цікавить нас величини.

Таким чином, якщо визначеним є деякий критерій (П1), То рівняння (1) стор. 7. зручніше представляти у вигляді

 . (2)

Друга теорема подібності відповідає на питання, як обробляти результати дослідів, проведених на моделях: періодичність їх надання у вигляді функціональної залежності між критеріями подібності.

III. Третя теорема подібності (Кирпичова і Гухман) формулює необхідні і достатні умови подібності явищ. "Подібні ті явища, які описуються однією і тією ж системою диференціальних рівнянь, і у яких дотримується подобу умов однозначності".

Подобою умов однозначності при ідентичності диференціальних рівнянь, що описують процеси, відповідає рівність визначальних критеріїв подібності. Значить, третя теорема подібності може бути сформульована і так: явища подібні якщо їх визначають критерії чисельно рівні.

Наслідком рівності визначальних критеріїв відповідно до рівняння (2) стор. 7 є рівність визначених критеріїв для моделі і натури. Тому залежність типу рівняння (2), отримана узагальненням результатів дослідів на модельній установці, буде справедлива (в тих же межах зміни визначальних критеріїв) для всіх подібних процесів, в тому числі для натури.

7. Етапи дослідження процесів методом теорії подібності.

Дослідження процесів методом теорії подібності повинні складатися з наступних етапів:

I. Отримавши повне математичний опис процесу, тобто, склавши диференціальне рівняння і встановивши умови однозначності, проводять подібне перетворення цього рівняння і знаходять критерії подібності.

II. Дослідним шляхом на моделях встановлюють конкретний вид залежності між критеріями подібності, причому одержане узагальнене розрахункове рівняння справедливо для всіх подібних явищ в досліджених межах зміни визначальних критеріїв подібності.

8. Метод математичного моделювання.

Велике практичне значення має застосування електричних моделей, що пов'язано зі значно більшою швидкістю поширення електричного струму або речовини. Це дозволяє значно прискорити проведення дослідів на моделях. Крім того, в ряді випадків виявляється практично неможливим підібрати для моделі середу з необхідними властивостями. І в цих умовах досить плідно використання електричної моделі.

Прикладом цьому служить випадок електрогідравлічного моделювання. При фізичному моделюванні процесу фільтрації рідини крізь грунт на моделі греблі було б вельми важко або неможливо змінювати в потрібних межах пористість фільтруючого середовища; в електролітичної же ванні зміна в широких межах електропровідності розчину, що є аналогом пористості середовища не представляє ніяких практичних труднощів.

Найбільш перспективним методом застосування аналогії між фізично різнорідними просторами є метод математичного моделювання, пов'язаний з використанням ЕОМ. Інститут проблем математичних машин можна ефективно застосовувати в тих випадках, коли необхідні для введення розрахункових залежностей рішення диференціального рівняння здійснити іншими способами дуже складно або практично неможливо. На машинах такі рішення отримують або у вигляді безперервних залежностей (аналогові машини), або в цифровому вигляді (дискретні, або цифрові машини).

Принцип роботи сучасних аналогових машин заснований на використанні аналогій між електричними явищами і математичними діями. Таким чином, застосування принципу аналогії перетворює в даному випадку модель в лічильно-вирішальне пристрій. Це в значній мірі усуває відмінність між теоретичним дослідженням (рішення диференціальних рівнянь) і експериментальним дослідженням (установка дослідів на моделях і подальше узагальнення їх результатів).

Математичне моделювання все більш широко використовується для дослідження і проектування різних процесів хімічної технології. Аналіз і моделювання таких складних процесів, як ректифікація, абсорбція, екстракція (без поділу багатокомпонентних сумішей) практично неможливо без застосування електронно-обчислювальної техніки.

При вивченні таких процесів найбільш плідні результати можуть бути отримані при правильному поєднанні методів фізичного і математичного моделювання.

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   Наступна

автомодельності | Модифіковані і похідні критерії подібності | Застосування методу аналізу розмірностей в гідродинаміки |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати