загрузка...
загрузка...
На головну

Рівняння Бернуллі для усталеного руху ідеальної рідини

  1. IV. Схемою Бернуллі.
  2. Абсорбери з механічним перемішуванням рідини
  3. Аналіз руху грошових коштів
  4. Аналіз руху грошових коштів непрямим методом
  5. Аналіз показників стану і руху основних засобів
  6. Аналіз просування по службі
  7. Аналіз стану та руху власних коштів

 При русі реальної (в'язкої) нестисливої ??рідини в потоці рідини крім сил тиску і тяжкості діють також сили тертя.

1. Дія сил тертя T на виділений в потоці в'язкої рідини елементарний паралелепіпед проявляється у виникненні на його поверхні дотичних напружень ?.

2. Розглянемо спочатку відносно простий випадок одновимірного плоского потоку крапельної рідини в напрямку осі x.

У цих умовах дотичні напруження виникають лише на поверхні dF верхньої і нижньої граней елементарного паралелепіпеда, причому

dF = dx.dy.

Якщо дотичне напруження на нижній межі одно ?, То на верхній межі воно становить

,

де похідна  - Висловлює зміна дотичного напруження уздовж осі z в точках, що лежать на нижній межі паралелепіпеда; похідна  - Являє собою зміну цієї напруги вздовж всієї довжини dz ребра паралелепіпеда.

3. Тоді проекція рівнодіюча сил тертя на вісь x

.

Підставами в цей вислів значення дотичного напруження ?, Певного раніше (закон внутрішнього тертя Ньютона) за рівнянням

,

де ? - В'язкість рідини.

Тоді отримаємо:

.

4. У більш загальному випадку тривимірного потоку складова швидкості Wx буде змінюватися не тільки в напрямку z, Але і в напрямку всіх трьох осей координат.

Тоді проекція рівнодіюча сил тертя на вісь x набуде вигляду

.

Сума других похідних по осях координат називається оператором Лапласа - .

Отже, проекція рівнодіюча сил тертя на вісь x може бути представлена ??як

.

Відповідно на вісь y: ,

на вісь z: .

5. Проекції на осі координат рівнодіюча всіх сил (тяжіння і тертя), швидкодіючих на елементарний об'єм крапельної рідини (з урахуванням проекцій сил тяжкості і тиску, отриманих при виведенні рівнянь Ейлера), складають:

на вісь x ,

на вісь y ,

на вісь z .

6. Суми проекцій сил на осі координат, в відповідності з основним принципом динаміки повинні бути рівні твору маси рідини, укладеної в елементарному обсязі (  ), На проекції прискорення на осі координат.

Тому, прирівнюючи проекції рівнодіючої твори і маси на проекції прискорення після скорочення на dx.dy.dz, отримаємо

 (4)

(Рівняння Нав'є-Стокса, що описують рух в'язкої крапельної рідини), де відповідні субстанціональні похідні  виражені для сталого потоку рівнянням (2) стор. 2, а для несталого потоку рівнянням (3) стр. 2.

7. При русі стисливої ??рідини в ній додатково виникають викликані тертям сили розтягування і стиснення.

Рівняння Нав'є-Стокса в цьому випадку приймає вид:

 (5)

 Це маса одиниці об'єму ? на проекцію її прискорення, тобто є проекцією рівнодіюча сил інерції, що виникають в рідині, що рухається.  Відображають вплив сил тяжіння.  Часткові похідні відображають вплив зміни гідростатичного тиску.  Твір в'язкості на суму других похідних проекцій швидкості; відображають вплив сил тертя на рухому рідину.  Часткові похідні висловлюють зміна швидкості по осях x, y, z, Пов'язані з дією сил стиснення і розтягування, причому

Кожен член рівняння має розмірність відповідної сили (тяжкості, тиску, тертя та інерції), віднесеної до одиниці об'єму рідини.

8. При русі ідеальної рідини, коли сили тертя відсутні, при підстановці ? = 0 в рівняння (4) останні збігаються з рівнянням (1), тобто рівняння руху Ейлера можна отримати як окремий випадок рівнянь Нав'є-Стокса.

9. Повний опис руху в'язкої рідини в його найбільш загальній формі можливо шляхом розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса спільно з рівнянням нерозривності потоку. Однак рівняння Нав'є-Стокса не можуть бути вирішені в загальному вигляді. Отримано рішення цієї складної системи рівнянь тільки для деяких окремих випадків.

У більшості найбільш важливих для промислової практики випадків застосування рівнянь Нав'є-Стокса стає можливим або при ряді спрощують припущень, або при перетворенні цих рівнянь методами теорії подібності.

Рівняння Бернуллі для усталеного руху ідеальної рідини

Рішення рівнянь руху Ейлера для сталого потоку

призводить до одного з найбільш важливих і широко використовуваних рівнянь гідродинаміки - рівняння Бернуллі.

1. Помноживши ліві і праві частини кожного з рівнянь відповідно на dx, dy, і dz і розділивши на ? рідини, отримаємо

2. Складемо ці рівняння, враховуючи, що похідні и  висловлюють проекції Wx, Wy, Wz швидкості на відповідні осі координат.

тоді

3. Складові лівій частині цього рівняння можуть бути представлені як

і, отже, їх сума

,

де W - Величина вектора швидкості, складові якої уздовж відповідних осей рівні Wx, Wy, Wz.

4. У той же час сума членів, що стоять в дужках в правій частині записаного рівняння являє собою повний диференціал тиску dp (При сталих умовах тиск залежить тільки від положення точки в просторі, але в кожної даній точці не змінюється з часом).

значить

.

Розділивши обидві частини на g (Прискорення сили тяжіння) і переносячи всі його члени в ліву частину, знаходимо

,

причому для нестисливої ??однорідної рідини ? = const.

5. Сума диференціалів може бути замінена диференціалом суми, отже

 , звідки

,

або останнє рівняння можна представити у вигляді

-

рівняння Бернуллі для ідеальної рідини.

6. Величина  - Повний гідродинамічний напір.

Отже, відповідно до рівняння Бернуллі "для всіх поперечних перерізів усталеного потоку ідеальної рідини величина гідродинамічного напору залишається незмінною".

Гідродинамічний напір включає три складових, з яких перші два доданки  входили в основне рівняння гідростатики (розглядали раніше).

z - нивелирная висота, звана також геометричним напором hг, Являє собою ідеальну потенційну енергію положення в даній точці (даному перетині);

 - Статичний, або п'єзометричний, натиск (hст), Характеризує питому потенційну енергію тиску в даній точці (даному перетині);

 - Швидкісний, або динамічний, натиск (hск), Характеризує питому кінетичну енергію в даній точці (даному перетині).

Таким чином, відповідно до рівняння Бернуллі, "при сталому русі ідеальної рідини сума потенційної  і кінетичної  енергії для кожного з поперечних перерізів потоку є величина постійна ".

7. Рівняння Бернуллі є окремим випадком закону збереження енергії і висловлює енергетичний баланс потоку, а саме: при звуженні труби частину потенційної енергії тиску переходить в кінетичну, і навпаки, але загальна кількість енергії залишається постійним.

Звідси випливає, що для ідеальної рідини кількість енергії, що надходить з потоком через початкове перетин трубопроводу, дорівнює кількості енергії, що віддаляється з потоком через кінцеве перетин трубопроводу.

8. У разі горизонтально розташованого трубопроводу z1 = z2 і рівняння Бернуллі для ідеальної рідини

.

Проілюструємо застосування рівняння Бернуллі на прикладі потоку ідеальної рідини, що рухається через довільно розташований в просторі трубопровід змінного перерізу.

1. У прямих вертикальних трубках (з незагнуті нижніми кінцями) рідина піднімається на висоту, що відповідає гідростатичному тиску в точках їх занурення, тобто ці трубки будуть вимірювати статичні напори у відповідних точках.

2. В трубках з нижніми кінцями, спрямованими назустріч потоку, рівень рідини буде вище, ніж в сусідніх вертикальних трубках, так як трубки з загнутими кінцями будуть показувати суму статичного і динамічного напорів.

Однак, згідно з рівнянням  у всіх трубках з загнутими нижніми кінцями рідина піднімається на одну і ту ж висоту відносно площини порівняння, рівну гідродинамічного напору H.

3. Площа поперечного перерізу 2-2 <1-1, тому швидкість рідини W2 > W1, Відповідно до рівняння безперервності потоку.

відповідно .

4. У будь-якому перетині трубопроводу швидкісний напір можна виміряти по різниці показань встановлених тут трубок.

5. Разом з тим з рівняння Бернуллі випливає, що висота рівня рідини в прямій трубці в перерізі 2-2 повинна бути менше відповідної висоти в прямій трубці перетину 1-1 на ту ж величину, на яку швидкісний напір в перерізі 2-2 більше, ніж в перерізі 1-1 (взаємний перехід потенційної енергії в кінетичну наочно видно з малюнка при зміні площі перетину труби, а також сталість суми цих енергій в будь-якому поперечному перерізі трубопроводу, що вказує про сталість H).

Рівняння Бернуллі для реальних рідин

1. При русі реальних рідин починають діяти сили внутрішнього тертя, обумовлені в'язкістю рідини і режимом її руху, а також сили тертя об стінку трубки. Ці сили чинять опір руху рідини. На подолання виниклого гідравлічного опору має витрачатися деяка частина енергії потоку. Тому загальна кількість енергії потоку по довжині трубопроводу буде безперервно зменшується внаслідок переходу потенційної енергії в втрачену енергію, яка витрачається на тертя і безповоротно втрачаємо при розсіюванні тепла в навколишнє середовище.

При цьому

.

2. Для дотримання балансу енергії при русі реальної рідини в праву частину рівняння повинен бути введений член, що виражає втрачений напір.

Тоді отримаємо рівняння Бернуллі для реальних рідин.

.

3. Втрачений натиск hП характеризує питому (віднесену до одиниці ваги рідини) енергію, що витрачається на подолання гідравлічного опору при русі реальної рідини.

4. Визначення втрат напору або тиску є практично важливим завданням, пов'язаної з розрахунком енергії, яка необхідна для переміщення реальних рідин за допомогою насосів, компресорів і т.д.

Складність вирішення цього завдання обумовлена ??тим, що рішення системи диференціальних рівнянь, що описують рух реальних рідин, в більшості випадків виявляється неможливим.

 



1   2   3   4   5   6   7   Наступна

гідродинамічний подобу | автомодельності | Модифіковані і похідні критерії подібності | Застосування методу аналізу розмірностей в гідродинаміки |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати