На головну

Вправи до розділу 6

  1. III. Вправи і КЗ, що формують регуляційних-комунікативні вміння на прагматико-репрезентує стадії.
  2. Більш детально питання про об'єкти екологічних громадських відносин розглянуто в главі II підручника. 1 сторінка
  3. Більш детально питання про об'єкти екологічних громадських відносин розглянуто в главі II підручника. 1 сторінка
  4. Більш детально питання про об'єкти екологічних громадських відносин розглянуто в главі II підручника. 10 сторінка
  5. Більш детально питання про об'єкти екологічних громадських відносин розглянуто в главі II підручника. 10 сторінка
  6. Більш детально питання про об'єкти екологічних громадських відносин розглянуто в главі II підручника. 11 сторінка
  7. Більш детально питання про об'єкти екологічних громадських відносин розглянуто в главі II підручника. 11 сторінка

6.1.Знайти критичні точки для функцій:

 1) ;  2) ;
 3) ;  4) ;
 5) ;  6) ;
 7) ;  8) ;
 9) ;  10) .

6.2.функція  на кінцях відрізка  приймає рівні значення:  . Чи справедливим є для цієї функції теорема Ролля на відрізку ?

6.3.функція  звертається в нуль при и  , але тим не менш  при  . Поясніть позірна суперечність з теоремою Ролля.

6.4.нехай  . Покажіть, що рівняння  має три дійсних кореня.

6.5.Для відрізка параболи  , Укладеного між точками и  , Знайдіть точку, дотична в якій паралельна хорді .

6.6.Перевірте виконання умов теореми Лагранжа і знайдіть відповідну точку  для функції  на відрізку .

6.7.Чи можна застосувати теорему Лагранжа до функції  на відрізку ?

6.8.Знайдіть значення  для наступних функцій і відрізків:

 1) ; ;  2) ; ;
 3) ; ;  4) ; .

6.9.Доведіть, що для функції  і будь-якого відрізка  здійсненна теорема Лагранжа і для відповідного  виконується рівність .

6.10.Знайдіть проміжки, на яких функція  зростає:

 1) ;  2) ;
 3) ;  4) ;
 5) ;  6) ;
 7) ;  8) ;
 9) ;  10) .

6.11.Знайдіть проміжки, на яких функція  убуває:

 1) ;  2) ;
 3) ;  4) ;
 5) ;  6) ;
 7) ;  8) ;
 9) ;  10) .

6.12.Знайдіть точки екстремуму функцій .

 1) ;  2) ;
 3) ;  4) ;
 5) ;  6) .

6.13.Знайдіть екстремуми функцій :

 1) ;  2) ;
 3) ;  4) ;
 5) ;  6) .

6.14.Досліджуйте на монотонність і екстремуми наступні функції:

 1) ;  2) ;
 3) ;  4) .

6.15.Досліджуйте напрямок опуклості графіків функцій:

 1) ;  2) ;
 3) ;  4) ;
 5) ;  6) .

6.16.Знайдіть точки перегину для функцій, зазначених у вправі 6.15

6.17.Досліджуйте функції і побудуйте їх графіки:

 1) ;  2) ;
 3) ;  4) ;
 5) ;  6) ;
 7) ;  8) ;
 9) ;  10) .

6.18.Знайдіть найбільше і найменше значення функції на даному відрізку:

 1) ; ;  2) ; ;
 3) ; ;  4) ; ;
 5) ; ;  6) ; ;
 7) ; ;  8) ; ;
 9) ; ;  10) ; ;
 11) ; ;  12) ; .

6.19.З усіх прямокутників, вписаних в коло радіуса  , Знайдіть той, площа якого найбільша.

6.20.Доведіть, що з усіх рівнобедрених трикутників, вписаних в дане коло, найбільшу площу має рівносторонній трикутник.

6.21.Доведіть, що з усіх прямокутних трикутників із заданою гіпотенузою найбільшу площу має трикутник.

6.22.Дане позитивне число розкладіть на два доданків так, щоб їх твір був найбільшим.

6.23.Число 48 записано у вигляді суми трьох позитивних доданків. Два доданків рівні між собою. Знайдіть складові, якщо відомо, що їх твір найбільше.

6.24.Для перевезення овочів необхідно виготовити ящики без кришок в формі прямокутного паралелепіпеда. Обсяг кожного ящика  , висота  . Якими повинні бути розміри підстави ящика, щоб на його виготовлення знадобилося найменшу кількість матеріалу?

6.25.«Завдання про консервній банці»:
 Якими повинні бути розміри циліндричної консервної банки, щоб:
 а) при заданому обсязі  вона мала найменшу площу поверхні?
 б) при заданій площі поверхні вона мала найбільшу місткість?

6.26.Бурова вишка розташована в полі в  від найближчої точки шосе. З бурової треба направити кур'єра в населений пункт, розташований по шосе в  від згаданої точки на шосе (вважаємо шосе прямою лінією). Якщо кур'єр на велосипеді проїжджає по полю  , А по шосе  , То до якої точки шосе йому треба їхати, щоб в найкоротший час доїхати до населеного пункту?

6.27.
 
 

 Потенційна енергія розтягнутої пружини виражається формулою  , де
 - Постійна, яка називається жорсткістю пружини, а  - Подовження пружини. Дві пружини розташовані на прямій лінії так, як показано на малюнку 61, де  . Пружини розтягнули і з'єднали в точці  . При якому розташуванні цієї точки сумарна потенційна енергія пружин буде найменшою, якщо жорсткості цих пружин рівні и ?

6.28.Якщо батарея з електрорушійної силою  і внутрішнім опором  замкнута провідником з опором  , То потужність  струму в зовнішньому ланцюзі виражається формулою:  . При якому значенні  потужність буде найбільшою?

6.29.Сила дії кругового електричного струму на невеликий магніт, вісь якого спрямована перпендикулярно площині кола і проходить через його центр, виражається формулою:  , де  - Радіус кола,  - Відстань від центру кола до магніту і  - Постійна. При якому значенні  ця сила буде найбільшою?

6.30.Потенціал в точці  електричного поля, утвореного зарядом  , дорівнює  , де  - Відстань від точки  до заряду. У точках и  , Віддалених одна від одної на  , Поміщені заряди и  однакового знака. В якій точці відрізка  потенціал сумарного електричного поля буде найменшим?

6.31.Доведіть, що при и  виконується: .

6.32.Доведіть, що при  справедливі нерівності:

 1) ;  2) .

6.33.Доведіть, що при и :

 1) ;  2)  ; при ;
 3)  ; при .  

6.34.Доведіть, що якщо и  , то .

6.35.Доведіть, що якщо и  , то .

6.36.Запишіть розкладання биномом:

 1) ;  2) ;  3) ;
 4) ;  5) ;  6) .

6.37.Скільки членів міститься в розкладах биномом:

 1) ;  2) ;  3) ?

6.38.Знайдіть  , Якщо відомо, що в розкладанні  коефіцієнти при и  рівні.

6.39.Знайдіть коефіцієнт при  в розкладанні бінома  , якщо .

6.40.Розрахуйте суми:
 1) ;
 2) ;
 3) .

6.41.Доведіть, що .

6.42.Який найбільший коефіцієнт розкладання  , Якщо сума всіх коефіцієнтів дорівнює 4096?

6.43.Якщо розкрити всі дужки у виразі  і привести подібні члени, то вийде деякий многочлен. Знайдіть коефіцієнт при  в цьому многочлене, не розкриваючи дужки.

6.44.Використовуючи тотожність (10) п. 70, доведіть, що .

6.45.Знайдіть найбільше значення суми  при .

6.46.Знайдіть суму коефіцієнтів розкладання .

6.47.У розкладанні  сума біноміальних коефіцієнтів, що стоять на парних місцях, дорівнює 32. Знайдіть член, що містить .

6.48.Вирішіть рівняння:

 1) ;  2) .    

6.49.Вирішіть нерівності:

 1) ;  2) ;  3) ;  4) .

6.50.Отримайте розкладання по формулі Маклорена для функцій:

 1) ;  2) ;  3) .  

6.51.Важка нитка (провід, канат, ланцюг) під впливом власної ваги провисає по ланцюгової лінії, рівняння якої має вигляд:  , де ,  - Горизонтальне натяг нитки,  - Вага одиниці довжини. Доведіть, що якщо  мало в порівнянні з  , то  , Тобто нитка наближено провисає по параболі.

6.52.Використовуючи формулу (7.1), (п. 72) обчисліть з точністю до 0,0001 квадратний корінь:

 1) ;  2) ;  3) .

6.53.Доведіть, що для добування кореня  -го ступеня з позитивного числа  застосовна формула: .

6.54.За допомогою формули, отриманої у вправі 6.53, обчисліть з точністю до 0,0001 значення коренів:

 1) ;  2) ;  3) ;  4) .

6.55.Знайдіть з точністю до 0,01 коріння рівнянь:

 1) ;  2) ;  3) ;  4) .

(Для уточнення проміжків усамітнення коренів зробіть ескіз графіка функції, що стоїть в лівій частині рівняння).



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14

Достатні умови монотонності і екстремуму | Напрямок опуклості графіка функції | точки перегину | Приклади побудови графіків функцій | Найбільші і найменші значення функції на відрізку. | Завдання на найбільші і найменші значення | Похідні і докази нерівностей | Біном Ньютона і властивості біноміальних коефіцієнтів | Формули Тейлора і Маклорена | Наближене рішення рівнянь методом хорд і дотичних |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати