загрузка...
загрузка...
На головну

Наближене рішення рівнянь методом хорд і дотичних

  1. B.3. Системи економетричних рівнянь
  2. D.3. Системи економетричних рівнянь
  3. GІІ. Викладаєте проблему групі. Разом з усіма виробляєте рішення на основі консенсусу. Виконуєте будь-яке рішення групи.
  4. I. Рішення логічних задач засобами алгебри логіки
  5. II. Рішення логічних задач табличним способом
  6. III. 12.2. Мислення і вирішення завдань
  7. III. Рішення логічних задач за допомогою міркувань

Багато задач математики зводяться до відшукання коренів рівняння  . Але для більшості функцій  не існує формул для відшукання коренів, а якщо формули і існують, то часто настільки громіздкі, що коріння доводиться обчислювати наближено. Найпростішим чисельним методом вирішення рівняння виду  є метод половинного ділення, згадуваний в п. 48 при доведенні теореми Больцано-Вейєрштрасса.

нехай функція  неперервна і монотонна на відрізку  , А її значення на кінцях цього відрізка мають різні знаки, тоді на відрізку  лежить один і тільки один корінь рівняння  . Справедливість цього твердження випливає з теореми Вейерштрасса і умови монотонності функції .

Розглянемо ще два способи чисельного рішення рівнянь: 1) метод хорд; 2) метод дотичних.

Суть методу хорд полягає в тому, що замість значення  - Точки перетину з віссю абсцис графіка функції  , Знаходять точку перетину з віссю абсцис хорди, що з'єднує точки и  (Рисунок 59).

рівняння хорди :  . покладемо  і знайдемо :  . Будемо вважати отримане значення  першим наближенням і позначимо  . Отже,  . (1)

Щоб отримати друге наближення, потрібно обчислити  і в залежності від знака  розглянути або відрізок  , Або відрізок  . Для ситуації, зображеної на рис. 59, таким відрізком є ??відрізок  . Повторивши обчислення, за допомогою яких була отримана формула (1), ми отримаємо  . (2)

Продовжуючи процес побудови хорд, отримаємо рекуррентную формулу:  . (3)

Обчислення проводяться до тих пір, поки різниця між двома послідовними наближеннями стане не більше заданої межі точності:  , де  - Задана межа точності; тоді .

Приклад 129.Знайдемо методом хорд з точністю до 0,01 значення кореня рівняння  , Розташованого на відрізку .

Рішення: ; и  при  , Значить, на відрізку  розташований один корінь. Скористаємося формулою (1) ;  ; скористаємося формулою (2); ;  ; скористаємося формулою (3); ; ; .

Ми бачимо, що  , Значить з точністю до 0,01 корінь рівняння дорівнює 0,32.

відповідь: .

якщо функція  не тільки неперервна, але і диференційована на відрізку  , То можна замінювати криву НЕ хордою, а дотичній, проведеної в одному з кінців відрізка  . В цьому і полягає метод дотичних (метод Ньютона).

Рівняння дотичної, проведеної в точці  до графіка функції  , має вигляд: .

Щоб знайти точку перетину дотичної з віссю абсцис, покладемо  і знайдемо :  . (4)

Якщо дотичну проводити в точці  , То абсциса точки перетину обчислюється за формулою:  . (5)

 
 

B
 Для методу дотичних не все одно, в якій точці будувати дотичну. Розглянемо малюнок 60: як видно, в першому випадку дотичну потрібно будувати в точці  , А дотична, побудована в точці  взагалі не перетинає вісь абсцис на відрізку  ; у другому випадку - все навпаки.

порівняємо знаки и  зі знаком другої похідної функції  на відрізку  ; на малюнку 60 (1) и  ; на малюнку 60 (2) и  . Приходимо до висновку:

Дотичну треба проводити в тому кінці, де знак функції збігається зі знаком другої похідної на відрізку  (Передбачається, що цей знак постійний на відрізку  ).

Знайшовши наближене значення  за формулою (4) або (5), треба знову застосувати цю формулу до отриманої точці. І в цьому випадку процес триває до тих пір, поки послідовні значення  не співпадуть в межах заданої точності. Іншими словами, треба вибрати початкове наближення  або  і побудувати послідовність  по рекуррентной формулою:  . (6)

Процес переривається, коли  , де  - Задана точність; тоді .

Приклад 130.Знайдемо методом дотичних з точністю до 0,01 значення кореня рівняння  , Розташованого на відрізку .

Рішення: ; ;  . на відрізку  виконується нерівність  , Тому дотичну треба проводити в точці, де функція позитивна, тобто  . обчислимо и  , І підставимо в формулу (5):  ; продовжимо обчислення: ,  , Отримаємо:  . Далі знаходимо:  . оскільки  , то .

відповідь: .

Примітка. 1. Порівняємо малюнки 59 і 60 (2), можна зробити висновок, що метод хорд і метод дотичних дають різні наближення точного кореня  : Метод хорд - з недоліком, а метод дотичних з надлишком; тому для прискорення процесу іноді застосовують комбінований метод - від відрізка  переходять до відрізка  , де  - Перше наближення методом хорд,  - Перше наближення методом дотичних і так далі. При цьому  , де и  відповідні наближення.
 Так, для розібраних прикладів 129 і 130: при  отримаємо  з точністю до 0,01.

Примітка. 2. Звернемо увагу на однаковість рекурентних формул (3) і (6) для послідовностей наближень кореня рівняння :  , де  - Кутовий коефіцієнт. Для методу хорд він дорівнює  - Кутовий коефіцієнт хорди з кінцями и  , А для методу дотичних -  - Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої  в точці .

Приклад 131.вирішимо рівняння  методом дотичних.

Ми маємо ;  ; значить, за формулою (6) отримаємо:  . (7)

Зауважимо, що позитивним коренем рівняння  є число  , Тому ми отримуємо зручний алгоритм вилучення квадратного кореня з позитивного числа :

взяти довільне позитивне число  і побудувати послідовність наближень  за формулою (7).

Перепишемо формулу (7) в такому вигляді:  ; (7.1)
 права частина - середнє арифметичне чисел и  , а  - Їх середнє геометричне; таким чином, сенс описаного процесу - на кожному кроці шукане середнє геометричне чисел и  замінюється їх середнім арифметичним.

Доведемо, що послідовність, задана формулою (7), сходиться до  , Незалежно від вибору :

1) за нерівністю Коші  , Значить, для будь-якого натурального  (8)
и ;

2) розглянемо  , Значить,  - Не збільшується.

Отже, послідовність  - Не збільшується й обмежена знизу (8), значить, по аксіомі Больцано-Вейєрштрасса, у неї є межа. позначимо його  ; тоді перейдемо до межі в рівність (7); отримаємо:  , звідки и  . Отже, .

Приклад 132.обчислити  з точністю до 0,0001.

Рішення:виберемо  і скористаємося формулою .

тоді ;

;

.

Отже,  , Значить,  з точністю до 0,0001.

відповідь:  з точністю до 0,0001.



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   Наступна

Необхідна умова екстремуму (теорема Ферма). Критичні точки. | Теорема Ролля і Лагранжа | Достатні умови монотонності і екстремуму | Напрямок опуклості графіка функції | точки перегину | Приклади побудови графіків функцій | Найбільші і найменші значення функції на відрізку. | Завдання на найбільші і найменші значення | Похідні і докази нерівностей | Біном Ньютона і властивості біноміальних коефіцієнтів |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати