Головна

Формули Тейлора і Маклорена

  1. III. ФОРМУЛИ ПОВНОГО ІМОВІРНОСТІ І Байєса.
  2. Згадайте формули розрахунку на контактну міцність циліндричної евольвентної прямозубой передачі.
  3. Вставка готової формули.
  4. Висновок загальної формули оберненої матриці
  5. Висновок формули аллельного заміщення
  6. Вивчіть формули привітання.
  7. Якщо підприємство випускало привілейовані акції, то з чисельника наведеної формули необхідно буде додатково відняти суму дивідендів за привілейованими акціями.

Серед всіх функцій, які нам доводилося досліджувати, найбільш зручні многочлени: вони визначені при всіх дійсних  , Неперервні, мають похідні всіх порядків, які також безперервні. Тому більш громіздкі або складні для дослідження функції виражають через статечні функції (многочлени).

>Теорема 48.(Формула Тейлора). якщо функція  неперервна і має безперервні похідні до  порядку включно на відрізку  , Причому в кожної внутрішньої точці цього відрізка існує похідна  , То на цьому відрізку  подана в вигляді:  , де .

Слідство.(Формула Маклорена). при  маємо  , де .

Доведення формули Тейлора багато в чому повторює міркування, які були наведені при доказі формули бінома Ньютона (п. 70). Суворе доказ можна знайти в підручниках з математичного аналізу для університетів.

Покажемо, як отримати відповідні формули для деяких елементарних функцій.

Приклад 127.для функцій и  при  виконані умови теореми 48, тому  , де ;  , де .

Дійсно, з урахуванням того, що функція  - Непарна, шукане розкладання можна шукати у вигляді:  . (1)

Щоб знайти  , Продифференцируем (1) по :  (2)

покладемо  , отримаємо  . Продифференцируем (2) ще раз:  (3)

Порівнюючи (1) і (3), отримаємо систему співвідношень для коефіцієнтів : ;  ; ...; .

Так як  , Послідовно знаходимо: ;  і так далі. Підставляючи отримані значення для  в формулу (1), маємо: .

За формулою (2) знаходимо розкладання для ;

Примітка. для функції  справедливо розкладання:  , де .

Приклад 128.многочлен  розкласти по цілим позитивним ступенями бинома .

Рішення: ; ; ;  при  . обчислимо ; ; ;  , Тоді за формулою Тейлора отримаємо: .

Отже, .



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   Наступна

Необхідна умова екстремуму (теорема Ферма). Критичні точки. | Теорема Ролля і Лагранжа | Достатні умови монотонності і екстремуму | Напрямок опуклості графіка функції | точки перегину | Приклади побудови графіків функцій | Найбільші і найменші значення функції на відрізку. | Завдання на найбільші і найменші значення | Похідні і докази нерівностей | Наближене рішення рівнянь методом ітерацій |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати