загрузка...
загрузка...
На головну

Теорема Ролля і Лагранжа

  1. Завдання нелінійного програмування. Метод невизначених множників Лагранжа
  2. Завдання Ейлера варіаційного обчислення. Метод Лагранжа-Понтрягіна для безперервних керованих процесів.
  3. Інтерполяційні формули для чисельного диференціювання на основі многочлена Лагранжа.
  4. Многочлен Лагранжа
  5. Метод множників Лагранжа
  6. Загальні теореми динаміки точки
  7. Загальні теореми динаміки.

Розглянемо теореми, за допомогою яких можна отримати достатні умови монотонності і екстремуму функції.

>Теорема 38.(Теорема Ролля). якщо функція :

1) неперервна при всіх ;

2) диференційована при всіх ;

3) на кінцях відрізка  приймає рівні значення: ,

то існує така точка  , В якій похідна функції  звертається в нуль; .

Доведення:зауважимо, що якщо функція  - Постійна (  ), То теорема справедлива для будь-якої точки  з інтервалу  , Тому будемо доводити теорему для функції  , Яка не є постійною. оскільки функція  неперервна на відрізку  , То вона має на ньому своє найменше та найбільше значення (теорема Вейерштрасса, п.48); ,  . Хоча б одне з них досягається у внутрішній точці відрізка  (інакше  ). Нехай це буде точка  . Таким чином, в точці  функція має екстремум і диференційована. Тоді по теоремі Ферма, в цій точці похідна дорівнює нулю:  , що й потрібно було довести.

Цікавий геометричний сенс теореми Ролля. Якщо виконані умови:

1)  - Неперервна при ;

2)  - Диференційована при ;

3) ,

 
 

 то існує внутрішня точка  така, що дотична в цій точці до графіка функції  паралельна осі  (Дивись малюнок 46).

Слідство з теореми Ролля: між двома країнами диференціюється є, щонайменше, один корінь похідної.

>Теорема 39.(Теорема Лагранжа). якщо функція :

1) неперервна при всіх ;

2) диференційована при всіх  , То існує така точка  , в якій .

Доведення:введемо допоміжну функцію  так, щоб для неї виконувалися умови теореми Ролля, дійсно:

1)  - Неперервна для всіх  , Як сума безперервних функцій при ;

2)  - Диференційована для всіх : ;

3) параметр  знайдемо з умови :
.

Отже, функція  задовольняє умовам теореми Ролля, значить, існує така точка  , в якій  , тобто  , Значить,  , що й потрібно було довести.

з рівності  випливає, що  (1).

 оскільки  - Приріст аргументу на відрізку  , а  - Приріст функції на цьому відрізку, то формулу (1) називають формулою кінцевих збільшень.

Геометричний сенс теореми Лагранжа: якщо виконані умови теореми, то існує така точка  , Дотична в якій паралельна хорді, що стягує дугу з кінцями в точках и  , так як  - Кутовий коефіцієнт цієї хорди (дивись малюнок 47).

Слідство: якщо функція  неперервна на відрізку и  для всіх  , То функція  постійна на відрізку .

Приклад 106.Покажемо, що функція  на відрізку  задовольняє теоремі Ролля, і знайдемо відповідне значення .

Рішення:функція  неперервна і диференційована для всіх ;  , Значить, на відрізку  теорема Ролля застосовна для даної функції. для знаходження  складемо рівняння:  , Значить, ; ;  ; але відрізку  належить лише  , тому .

Приклад 107.Перевіримо виконання умов теореми Лагранжа для функції  на відрізку  і знайдемо відповідне значення .

Рішення:функція  неперервна і диференційована для всіх  , Тому теорема Лагранжа може бути застосована. знайдемо ;  ; складемо рівняння: ; , ;  . відрізку  належить  , Значить, .



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   Наступна

Напрямок опуклості графіка функції | точки перегину | Приклади побудови графіків функцій | Найбільші і найменші значення функції на відрізку. | Завдання на найбільші і найменші значення | Похідні і докази нерівностей | Біном Ньютона і властивості біноміальних коефіцієнтів | Формули Тейлора і Маклорена | Наближене рішення рівнянь методом хорд і дотичних | Наближене рішення рівнянь методом ітерацій |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати