Головна |
Теорема Ролля і ЛагранжаРозглянемо теореми, за допомогою яких можна отримати достатні умови монотонності і екстремуму функції. Теорема 38.(Теорема Ролля). якщо функція : 1) неперервна при всіх ; 2) диференційована при всіх ; 3) на кінцях відрізка приймає рівні значення: , то існує така точка , В якій похідна функції звертається в нуль; . Доведення:зауважимо, що якщо функція - Постійна ( ), То теорема справедлива для будь-якої точки з інтервалу , Тому будемо доводити теорему для функції , Яка не є постійною. оскільки функція неперервна на відрізку , То вона має на ньому своє найменше та найбільше значення (теорема Вейерштрасса, п.48); , . Хоча б одне з них досягається у внутрішній точці відрізка (інакше ). Нехай це буде точка . Таким чином, в точці функція має екстремум і диференційована. Тоді по теоремі Ферма, в цій точці похідна дорівнює нулю: , що й потрібно було довести. Цікавий геометричний сенс теореми Ролля. Якщо виконані умови: 1) - Неперервна при ; 2) - Диференційована при ; 3) , то існує внутрішня точка така, що дотична в цій точці до графіка функції паралельна осі (Дивись малюнок 46). Слідство з теореми Ролля: між двома країнами диференціюється є, щонайменше, один корінь похідної. Теорема 39.(Теорема Лагранжа). якщо функція : 1) неперервна при всіх ; 2) диференційована при всіх , То існує така точка , в якій . Доведення:введемо допоміжну функцію так, щоб для неї виконувалися умови теореми Ролля, дійсно: 1) - Неперервна для всіх , Як сума безперервних функцій при ; 2) - Диференційована для всіх : ; 3) параметр знайдемо з умови : Отже, функція задовольняє умовам теореми Ролля, значить, існує така точка , в якій , тобто , Значить, , що й потрібно було довести. з рівності випливає, що (1). оскільки - Приріст аргументу на відрізку , а - Приріст функції на цьому відрізку, то формулу (1) називають формулою кінцевих збільшень. Геометричний сенс теореми Лагранжа: якщо виконані умови теореми, то існує така точка , Дотична в якій паралельна хорді, що стягує дугу з кінцями в точках и , так як - Кутовий коефіцієнт цієї хорди (дивись малюнок 47). Слідство: якщо функція неперервна на відрізку и для всіх , То функція постійна на відрізку . Приклад 106.Покажемо, що функція на відрізку задовольняє теоремі Ролля, і знайдемо відповідне значення . Рішення:функція неперервна і диференційована для всіх ; , Значить, на відрізку теорема Ролля застосовна для даної функції. для знаходження складемо рівняння: , Значить, ; ; ; але відрізку належить лише , тому . Приклад 107.Перевіримо виконання умов теореми Лагранжа для функції на відрізку і знайдемо відповідне значення . Рішення:функція неперервна і диференційована для всіх , Тому теорема Лагранжа може бути застосована. знайдемо ; ; складемо рівняння: ; , ; . відрізку належить , Значить, . Напрямок опуклості графіка функції | точки перегину | Приклади побудови графіків функцій | Найбільші і найменші значення функції на відрізку. | Завдання на найбільші і найменші значення | Похідні і докази нерівностей | Біном Ньютона і властивості біноміальних коефіцієнтів | Формули Тейлора і Маклорена | Наближене рішення рівнянь методом хорд і дотичних | Наближене рішення рівнянь методом ітерацій | |