загрузка...
загрузка...
На головну

графічний метод

  1. Case-метод Баркера
  2. I. 2. 1. Марксистсько-ленінська філософія - методологічна основа наукової психології
  3. I. 2.4. Принципи та методи дослідження сучасної психології
  4. I. Методичні рекомендації
  5. I. Методичні рекомендації
  6. I. Методичні рекомендації
  7. I. Методичні рекомендації

Розглянемо приклади розв'язання задач нелінійного програмування з двома змінними, причому їх цільові функції і системи обмежень можуть бути задані в лінійному і нелінійному вигляді. Так само як і в завданнях лінійного програмування, вони можуть бути вирішені графічно.

Завдання з лінійної цільової функцією і нелінійної системою обмежень

Приклад 1. Знайти глобальні екстремуми функції

при обмеженнях:

Рішення. Область допустимих рішень - частина окружності з радіусом 4, яка розташована в першій чверті (рис. 28.1).

Лініями рівня цільової функції є паралельні прямі з кутовим коефіцієнтом, рівним -2. Глобальний мінімум досягається в точці O (0, 0), глобальний максимум - в точці А торкання лінії рівня і окружності. Проведемо через точку А пряму, перпендикулярну лінії рівня. Пряма проходить через початок координат, має кутовий коефіцієнт 1/2 і рівняння x2 = 1/2х1.

вирішуємо систему

звідки знаходимо х1 = 8  / 5, x2 = 4  / 5, L = 16  / 5 + 4  / 5 = 4 .

Відповідь. Глобальний мінімум, рівний нулю, досягається в точці O (0, 0), глобальний максимум, рівний 4  , - В точці А(8  / 5, 4  / 5).

Завдання з нелінійної цільової функцією і лінійної системою обмежень

Приклад 2. Знайти глобальні екстремуми функції

при обмеженнях:

Рішення. Область допустимих рішень - OABD (Рис. 28.2). Лініями рівня будуть окружності з центром в точці O1. Максимальне значення цільова функція має в точці D(9, 0), мінімальне - в точці O1 (2, 3). Тому

Відповідь. Глобальний максимум, рівний 58, досягається в точці D (9, 0), глобальний мінімум, рівний нулю, - в точці O1 (2, 3).

Приклад 3. Знайти глобальні екстремуми функції

при обмеженнях:

Рішення. Область допустимих рішень - OABD (Рис. 28.3). Лінії рівня представляють собою кола з центром в точці O1 (6, 3). Глобальний максимум знаходиться в точці O (0, 0) як найвіддаленішої від точки O1. Глобальний мінімум розташований в точці Е, що знаходиться на перетині прямої 3x1 + 2x2 = 15 і перпендикуляра до цієї прямої, проведеного з точки O1.

Знайдемо координати точки Е: так як кутовий коефіцієнт прямої 3x1 + 2x2 = 15 дорівнює -3/2, то кутовий коефіцієнт перпендикуляра O1Е дорівнює 2/3. З рівняння прямої, що проходить через дану точку О2 з кутовим коефіцієнтом 2/3, отримаємо

вирішуючи систему

знаходимо координати точки Е: х1 = 51/13, x2 = 21/13, при цьому L (Е) = 1053/169.

координати точки Е можна знайти в такий спосіб: диференціюючи вираз (x1 - 6)2 + (x2 - 3)2 як неявну функцію по x1, отримаємо

Прирівнюємо отримане значення до тангенсу кута нахилу прямої 3x1 + 2x2 = 15:

Вирішуємо систему рівнянь

отримаємо координати точки Е: х1 = 51/13, x2 = 21/13.

Відповідь. Глобальний максимум, рівний 52, знаходиться в точці O (0, 0). Глобальний мінімум, рівний 1053/169, знаходиться в точці E (51/13, 21/13).

Завдання з нелінійної цільової функцією і нелінійної системою обмежень

Приклад 4. Знайти глобальні екстремуми функції

при обмеженнях:

Рішення. Областю допустимих рішень є окружність з радіусом 4, розташована в першій чверті (рис. 28.4). Лініями рівня будуть окружності з центром в точці O1 (2, l).

Глобальний мінімум досягається в точці O1. Глобальний максимум - в точці А (0, 4), при цьому

Відповідь. Глобальниі мінімум, рівний нулю, досягається в точці O1 (2, l), глобальний максимум, рівний 13, знаходиться в точці А (0, 4).

Приклад 5. Знайти глобальні екстремуми

при обмеженнях:

Рішення. Область допустимих рішень не є опуклою і складається з двох частин (рис. 28.5). Лініями рівня є окружності з центром в точці O (0, 0).

Знайдемо координати точок А и В, вирішуючи систему

отримаємо А (1, 4), В (4, 1). У цих точках функція має глобальні мінімуми, рівні 17. Знайдемо координати точок D и Е, вирішуючи системи

звідки отримуємо D (2/3, 6) і L (D) = 328/9, E (7, 4/7) та L (E) = 2417/49.

Відповідь. Цільова функція має два глобальних мінімуму, рівних 17, в точках А (1, 4) і B (4, 1), глобальний максимум, рівний 2417/49, досягається в точці E (7, 4/7).



Попередня   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   Наступна

Постановка задачі | Лінійне програмування з параметром в цільовій функції | Визначення діапазону оптимального рішення випуску продукції при зміні умов реалізації | Транспортна параметрическая завдання | Знаходження оптимальних шляхів транспортування вантажів при нестабільній завантаженні доріг | Загальна формулювання завдання | Приклад. | Графічний метод рішення задач | Прогнозування ефективного використання виробничих площ | метод Гоморі |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати