На головну

Тризначна система Рейтингу

  1. I.2.3) Система римського права.
  2. II.5.1) Поняття і система магістратур.
  3. IV. МОВА ЯК СИСТЕМА І СТРУКТУРА
  4. Quot; виштовхує "ЛОГІСТИЧНА СИСТЕМА
  5. S.1. ІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА ТОРГІВЛІ
  6. VI. Система органів державної влади в Російській Федерації
  7. А. Секційна система з багатошаровими довгими блоками

У двозначній логіці із закону виключеного третього виводяться: 1)  2)  Виходячи з твердження, що істинним є лише друге, Гейтинг розробив тризначну пропозіціональному логіку. У цій логічній системі імплікація і заперечення відрізняються від визначень цих операцій у Лукасевича лише в одному випадку. «Істина» позначається 1, «брехня» - 0, «невизначеність» - 1/2. Тавтологія приймає значення

1 (табл. 15, 16).


Таблиця 15

заперечення гейтинг

х
?

Таблиця 16

імплікація гейтинг

 х / у  1/2
? ?

1) [СХУ] = 1, якщо

2) [СХУ] = [у], якщо

Кон'юнкція і диз'юнкція визначені звичайним способом як мінімум і максимум значень аргументів.

Якщо враховувати лише значення функцій 1 і 0, то з матриць системи гейтинг вичленяються матриці двозначної логіки. У цій тризначній логіці закон несуперечливий є тавтологією, але ні закон виключеного третього, ні його заперечення тавтологія не є. Обидва правильних модусу умовно-категоричного силогізму, формула  правила де Моргана і закон виключеного четвертого:  - Тавтології.

Хоча в порівнянні з логікою Лукасевича в матрицях заперечення і імплікації гейтинг в його системі були зроблені невеликі зміни, результати виявилися значними: в системі гейтинг є тавтологія багато формули класичного двозначного числення висловів.

Тризначна система Бочвара30

Система радянського логіка Д. А. Бочвара побудована на поділі висловлювань на мають сенс (т. Е. Правдиві чи неправдиві) і безглузді. Бочвар виділяє зовнішні форми (або функції) і внутрішні. Внутрішні форми Бочвар називає класичними змістовними функціями змінних висловлювань, а зовнішні форми - не клас но ми. У Бочвара «істина» позначається Л, «брехня» - F, «Безглуздість» - S. Ми позначимо «істину» як 1, «брехня» - 3, «безглуздість» - 2. Тавтологія приймає значення 1; а, b, с ... позначають змінні висловлювання.

У даній роботі не наводиться повне визначення функцій (в силу його складності). Бочвар ввів два види заперечення - внутрішнє і зовнішнє, які визначаються таблично,  - Внутрішнє заперечення,  - Зовнішнє заперечення,  - Внутрішнє заперечення зовнішнього затвердження.

В системі Бочвара ні закон тотожності двозначної логіки, ні його заперечення не є тавтологія. Заперечення закону тотожності зіграло важливу роль при аналізі феномена Рассела. Бочвар таки не відкидає принцип «а є а » або  в його системі формулане  є доказовою.

Протиріччями в логіці Бочвара є такі формули: 1)  2)  3) Тут знак  означає  зовнішню рівнозначність (еквівалентність), знак  - Зовнішню равносильность.

Бочвар побудував своє тризначне нечисельних з метою вирішення парадоксів класичної математичної логіки методом формального докази безглуздості певних висловлювань. Зокрема, за допомогою своєї системи Бочвар зміг розв'язати парадокс Рассела про безліч всіх нормальних множин, довівши неіснування такого предмета, як безліч всіх нормальних множин. Насправді це означає, що, оскільки предметна область складається з фіксованих предметів, про які можна міркувати за законами класичної формальної логіки, безліч всіх нормальних множин можна розглядати як фіксований предмет, що не змінюється в той час, поки про нього йде мова. Система Бочвара дозволяє елімінувати парадокс Рассела, не вдаючись до теорії типів.

n-значний система Посту31

Система Посту є узагальненням двозначної логіки, бо при л = 2 в якості окремого випадку ми отримуємо двозначну логіку. Своєю системі Пост дав інтерпретацію. Значення істинності суть 1, 2, ..., л  де л - кінцеве число. Тавтологією є формула, яка завжди приймає таке значення i, що  де  значення 1, ..., S називаються виділеними або зазначеними; можливо що

Пост вводить два види заперечення (N * x и N1x)y відповідно звані циклічним і симетричним. Вони визначаються шляхом матриць і за допомогою рівностей.

Перше заперечення визначається двома рівностями:

1. LY1x] = M + l при

2. [^ п] = 1.

Друге заперечення визначається одним рівністю:

[N2x] = n- [x] + \.

Матриця, яка визначає перше і друге заперечення, має вигляд табл. 17.

Таблиця 17

x N 2x N 2x
 . . .n -1n  . . .n n n -1n -2n -3. . .

Характерною особливістю двох заперечень Посту є те, що при л = 2 ці заперечення збігаються між собою і з запереченням двозначної логіки, що підтверджує тезу: багатозначна система Посту є узагальнення двозначної логіки.

Кон'юнкція і диз'юнкція визначаються відповідно як максимум і мінімум значень аргументів. При зазначених визначеннях заперечення, кон'юнкції і диз'юнкції виявляється, що при значенні для х, більшому двох, закони несуперечливий і виключеного третього, а також заперечення цих законів не є тавтологія.

Якщо значеннями істинності є 1, 2, 3, то з n -значний системи Поста вичленяється тризначна логіка, т. е. Ръ. Аналогічно при значеннях істинності 1, 2, 3, 4 виходить чотиризначна логіка Р4 і т.д.

Тризначна система Р3 Посту має наступну форму (табл. 18, 19).

У цих таблицях прийняті позначення, введені Постом при n-3: перше заперечення позначається через  друге заперечення - через  кон'юнкція - через  диз'юнкція - через  імплікація - через  еквіваленція - через

Якщо в якості значень істинності взяті лише 1 «істина» і 3 «брехня», то з таблиць системи Р3 Посту вичленяються таблиці для заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації і еквіваленціі двозначної логіки.

В системі Рэ тавтологія приймає значення 1; закон виключеного третього не є тавтологією ні для першого, ні для другого заперечення Посту, але є тавтологією закон виключеного четвертого для першого заперечення.

Тризначна система Рейхенбаха32

Апарат багатозначних логік знаходить все більш широке застосування в різних науках. Проаналізуємо застосування апарату тризначною логіки Г. Рейхенбаха до квантової механіки.

Більшість операцій цієї системи було введено вже Постом, але з метою застосування своєї системи до квантової механіки Рейхенбах вводить нові. У Посту було введено два види заперечення - перше і друге. В системі Рейхенбаха вони називаються циклічним запереченням і діаметральним запереченням, крім них Рейхенбах ввів повне заперечення. В системі Рейхенбаха є стандартна імплікація  і стандартна еквівалентність  Вводяться й інші операції: альтернативна імплікація  , квазіімплікація  і альтернативна еквівалентність  Знаком «-» позначена кон'юнкція, -діз'юнкція.

Таблиця для трьох видів заперечень Рейхенбаха. позначення:

 - Циклічне заперечення; - А - Діаметральне заперечення;  - Повне заперечення.

Рейхенбах позначив «істину» як 1, «невизначеність» - 2, «хибність» - 3. Тавтологія приймає значення 1 (табл. 20).

Таблиця 20

Інші функції Рейхенбаха визначаються матрицями так (табл. 21).

Відзначимо ряд властивостей, властивих запереченням в системі Рейхенбаха.

Для циклічного заперечення вірний закон зняття потрійного заперечення:  т. е. в результаті потрійного заперечення

А повертаємося до початкового значення А. Для циклічного заперечення закони несуперечливий і виключеного третього, правила де Моргана двозначної логіки не є тавтологія, але тавтологією є закон виключеного четвертого:

Для діаметрального заперечення зберігається правило зняття подвійного заперечення:  Ні самі закони несуперечливий і виключеного третього, ні їх заперечення при диаметральном запереченні не є тавтологія.

Для повного заперечення виявилися тавтологія закон несуперечливий, псевдозаконів виключеного третього, закон виключеного четвертого, правила де Моргана, закон

Розглянувши три види заперечення в їх взаємозв'язку, Рейхенбахпоказал, що між циклічним і повним запереченням має місце наступне відношення:

 (1)

Раніше зазначалося, що для циклічного заперечення є тавтологією закон виключеного четвертого:  Останні два члена його можна замінити на підставі рівності (1) на  і отримати для повного заперечення формулу  яку Рейхенбах назвав «псевдозаконів виключеного третього», бо він не має властивостей закону виключеного третього двозначної логіки. Причина останнього в тому, що повне заперечення не має властивостей звичайного заперечення: воно не дає нам можливості визначити значення істинності А, якщо ми знаємо, що  істинно. З табл. 22, яка визначає повне заперечення, слід, що якщо  істинно, то А може бути як хибним, так і невизначеним.

Внаслідок цієї двозначності для повного заперечення можна визначити зворотної операції, т. Е. Операції, що веде від к А.

Взаємозв'язок трьох видів заперечення виражається в тому, що закон несуперечливий зберігається в таких трьох формах:

1)

Рейхенбах побудував свою тризначну систему для опису явищ квантової механіки. На його думку, говорити про істинність або хибність висловлювань правомірно лише тоді, коли можливо здійснити їх перевірку. Якщо не можна ні підтвердити істинність Висловлювання (т. Е. Верифікувати його), ні спростувати його за допомогою перевірки (фальсифікувати), то таке висловлювання має оцінюватися третім значенням - невизначено. До числа таких висловлювань належать висловлювання про неспостережуваних об'єктах в мікросвіті.

Сам Рейхенбах так пише про значення тризначною логіки для квантової механіки: «Введення третього значення істинності робить все висловлювання квантової механіки тризначними. Рамки тризначною логіки досить широкі, щоб включати клас істинно-помилкових формул. Коли ми хочемо все висловлювання квантової механіки ввести до складу тризначною логіки, то керівної ідеєю буде: помістити в істинно-помилковий клас ті висловлювання, які ми називаємо законами квантової механіки »33.

 



Попередня   106   107   108   109   110   111   112   113   114   115   116   117   118   119   120   121   Наступна

РОЗВИТОК ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ | РОЗВИТОК ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ У СЕРЕДНІХ І СТАРШИХ КЛАСАХ НА УРОКАХ ЛІТЕРАТУРИ, МАТЕМАТИКИ, ІСТОРІЇ ТА ІНШИХ ПРЕДМЕТІВ | Розвинуте логічного мислення на уроках математики | Вимога повноти і витриманості класифікації | Розвиток логічного мислення на уроках історії | КОРОТКІ ВІДОМОСТІ З ІСТОРІЇ КЛАСИЧНОЇ І некласична логіка | Логіка в Стародавній Індії | Логіка в Стародавній Греції | Логіка в середні століття | РОЗВИТОК ЛОГІКИ В ЗВ'ЯЗКУ З ПРОБЛЕМОЮ ПІДСТАВИ МАТЕМАТИКИ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати