Головна

Тангенціальна складова прискорення 3 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

(I, j, k - одиничні вектори координатних осей). Вектор, який визначається виразом (12.5), називається градієнтом скаляра П.

Для нього поряд з позначенням grad П застосовується також позначення NП. N ??(«Набла») означає символічний вектор, званийоператором Гамільтона *абоНабла-оператором:

 (12.6)

* У. Гамільтон (1805-1865) - ірландський математик і фізик.

Конкретний вид функції П залежить від характеру силового поля. Наприклад, потенційна енергія тіла масою т, піднятого на висоту h над поверхнею Землі, дорівнює

 (12.7)

де висота h відраховується від нульового рівня, для якого П0= 0. Вираз (12.7) випливає безпосередньо з того, що потенційна енергія дорівнює роботі сили тяжіння при падінні тіла з висоти h на поверхню Землі.

Так як початок відліку вибирається довільно, то потенційна енергія може мати від'ємне значення (Кінетична енергія завжди позитивна!). Якщо прийняти за нуль потенційну енергію тіла, що лежить на поверхні Землі, то потенційна енергія тіла, що знаходиться на дні шахти (глибина h ' ), П = -mgh '.

Знайдемо потенційну енергію упругодеформірованному тіла (пружини). Сила пружності пропорційна деформації:

де Fx упp - проекція сили пружності на вісь х; k - коефіцієнт пружності (Для пружини - жорсткість), А знак мінус вказує, що Fx упpнаправлена ??в сторону, протилежну деформації x.

За третім законом Ньютона, деформує сила дорівнює по модулю силі пружності і протилежно їй спрямована, т. Е.

Елементарна робота dA, здійснюються силою Fx при нескінченно малій деформації dx, дорівнює

а повна робота

йде на збільшення потенційної енергії пружини. Таким чином, потенційна енергія упругодеформірованному тіла

Потенційна енергія системи є функцією стану системи. Вона залежить тільки від конфігурації системи та її положення по відношенню до зовнішніх тіл.

Повна механічна енергія системи - Енергія механічного руху і взаємодії:

т. е. дорівнює сумі кінетичної і потенційної енергій.

§ 13. Закон збереження енергії

Закон збереження енергії - результат узагальнення багатьох експериментальних даних. Ідея цього закону належить М. В. Ломоносову (1711-1765), викласти закон збереження матерії і руху, а кількісна формулювання закону збереження енергії дана німецьким лікарем Ю. Маєром (1814-1878) і німецьким натуралістом Г. Гельмгольцем (1821-1894) .

Розглянемо систему матеріальних точок масами m1, m2, ..., mn, Що рухаються зі швидкостями v1, v2, ..., Vn. нехай ,  , ...,  - Рівнодіюча внутрішніх консервативних сил, що діють на кожну з цих точок, a F1, F2, ..., Fn - Рівнодіюча зовнішніх сил, які також будемо вважати консервативними. Крім того, будемо вважати, що на матеріальні точки діють ще й зовнішні неконсерватівние сили; равнодействующие цих сил, що діють на кожну з матеріальних точок, обозначімf1, f2, ..., Fn. при v « c маси матеріальних точок постійні і рівняння другого закону Ньютона для цих точок наступні:

Рухаючись під дією сил, точки системи за інтервал часу dt здійснюють переміщення, відповідно рівні dr1, dr2, ..., Drn. Помножимо кожне з рівнянь скалярно на відповідне переміщення і, з огляду на, що dri== vi dt, отримаємо

Склавши ці рівняння, отримаємо

 (13.1)

Перший член лівої частини рівності (13.1)

де dT - приріст кінетичної енергії системи. другий член  дорівнює елементарної роботі внутрішніх і зовнішніх консервативних сил, взятої зі знаком мінус, т. е. дорівнює елементарного приросту потенційної енергії dП системи (див. (12.2)).

Права частина рівності (13.1) задає роботу зовнішніх неконсервативних сил, що діють на систему. Таким чином, маємо

 (13.2)

При переході системи зі стану 1 в будь-який стан 2

т. е. зміна повної механічної енергії системи при переході з одного стану в інший дорівнює роботі, досконалої при цьому зовнішніми Неконсервативні силами. Якщо зовнішні неконсерватівние сили відсутні, то з (13.2) слід, що

d (T+ П) = 0,

звідки

 (13.3)

т. е. повна механічна енергія системи зберігається постійною. Вираз (13.3) являє собою закон збереження механічної енергії: В системі тіл, між якими діють лише консервативні сили, повна механічна енергія зберігається, т. Е. Не змінюється з часом.

Механічні системи, на тіла яких діють тільки консервативні сили (внутрішні та зовнішні), називаються консервативними системами. Закон збереження механічної енергії можна сформулювати так: в консервативних системах повна механічна енергія зберігається.

Закон збереження механічної енергії пов'язаний з однорідністю часу. Однорідність часу проявляється в тому, що фізичні закони інваріантні щодо вибору початку відліку часу. Наприклад, при вільному падінні тіла в полі сил тяжіння його швидкість і пройдений шлях залежать лише від початкової швидкості і тривалості вільного падіння тіла і не залежать від того, коли тіло почало падати.

Існує ще один вид систем - дисипативні системи, В яких механічна енергія поступово зменшується за рахунок перетворення в інші (немеханічних) форми енергії. Цей процес отримав назву диссипации (або розсіювання) енергії. Строго кажучи, всі системи в природі є диссипативними.

У консервативних системах повна механічна енергія залишається постійною. Можуть відбуватися лише перетворення кінетичної енергії в потенційну і назад в еквівалентних кількостях так, що повна енергія залишається незмінною. Цей закон не є просто закон кількісного збереження енергії, а закон збереження і перетворення енергії, що виражає і якісну сторону взаємного перетворення різних форм руху один в одного. Закон збереження і перетворення енергії - фундаментальний закон природи, він справедливий як для систем макроскопічних тіл, так і для систем мікротел.

В системі, в якій діють також неконсерватівние сили, наприклад сили тертя, повна механічна енергія системи не зберігається. Отже, в цих випадках закон збереження механічної енергії несправедливий. Однак при «зникнення» механічної енергії завжди виникає еквівалентна кількість енергії іншого виду. Таким чином, енергія ніколи не зникає і не з'являється знову, вона лише перетворюється з одного виду в інший. В цьому і полягає фізична сутність закону збереження і перетворення енергії - сутність незнищенності матерії і її руху.

§ 14. Графічне представлення енергії

У багатьох задачах розглядається одномірний рух тіла, потенційна енергія якого є функцією лише однієї змінної (наприклад, координати х), Т. Е. П = П (х). Графік залежності потенційної енергії від деякого аргументу називається потенційної кривої. Аналіз потенційних кривих дозволяє визначити характер руху тіла.

Будемо розглядати тільки консервативні системи, т. Е. Системи, в яких взаємні перетворення механічної енергії в інші види відсутні. Тоді справедливий закон збереження енергії в формі (13.3). Розглянемо графічне представлення потенційної енергії для тіла в однорідному полі тяжіння і для упругодеформірованному тіла.

Потенційна енергія тіла масою т, піднятого на висоту h над поверхнею Землі, згідно (12.7), П (H) = mgh. Графік цієї залежності П = П (h) - Пряма лінія, що проходить через початок координат (рис. 15), кут нахилу якої до осі h тим більше, чим більше маса тіла (так як tga= mg).

Нехай повна енергія тіла дорівнює Е (Її графік - пряма, паралельна осі h). На висоті h тіло володіє потенційною енергією П, яка визначається відрізком вертикалі, укладеним між точкою h на осі абсцис і графіком П (h). Природно, що кінетична енергія Т задається ординатою між графіком П (h) І горизонтальної прямої ЇЇ. З рис. 15 випливає, що якщо h = hmax, то Т= 0 і П= E = mghmax, Т. Е.потенціальная енергія стає максимальною і дорівнює повній енергії.

З наведеного графіка можна знайти швидкість тіла на висоті h:

звідки

Залежність потенційної енергії пружної деформації П= кх2/2от деформації х має вигляд параболи (рис. 16), де графік заданої повної енергії тіла Е - пряма, паралельна осі абсцис х, а значення Т і П визначаються так само, як на рис. 15. З рис. 16 випливає, що зі зростанням деформації х потенційна енергія тіла зростає, а кінетична - зменшується. абсциса xmax визначає максимально можливу деформацію розтягування тіла, a -хmax - Максимально можливу деформацію стиску тіла. якщо х = ±хmax, то T =0 і П= E = k /2, т. Е. Потенційна енергія стає максимальною і дорівнює повній енергії.

З аналізу графіка на рис. 16 випливає, що при повній енергії тіла, що дорівнює Е, тіло не може зміститися правіше хmax і лівіше -хmax, Так як кінетична енергія не може бути негативною і, отже, потенційна енергія не може бути більше повної енергії. У такому випадку говорять, що тіло перебуває впотенційній ямі з координатами - хmax ? x ? хmax.

У загальному випадку потенційна крива може мати досить складний вид, наприклад з декількома чергуються максимумами і мінімумами (рис. 17). Проаналізуємо цю потенційну криву. якщо Е - задана повна енергія частинки, то частка може перебувати тільки там, де П (х) ? Е, т. е. в областях I и III. Переходити з області I в III і назад частка не може, так як їй перешкоджає потенційний бар'єр CDG, Ширина якого дорівнює інтервалу значень х, При яких E П, а його висота визначається різницею Пmах-E. Для того щоб частка змогла подолати потенційний бар'єр, їй необхідно повідомити додаткову енергію, рівну висоті бар'єру або перевищує її. В області I частка з повною енергією Е виявляється «замкненою» в потенційній ямі AВС і робить коливання між точками з координатами хA и хC.

У точці В з координатою х0 (Рис. 17) потенційна енергія частинки мінімальна. Так як діюча на частинку сила (див. § 12)  (П - функція тільки однієї координати), а умова мінімуму потенційної енергії  , То в точці У -Fx = 0. При зміщенні частки з положення х0 (І вліво і вправо) вона відчуває дію повертає сили, тому положення х0 є становищемстійкої рівноваги. Зазначені умови виконуються і для точки  (Для Пmax). Однак ця точка відповідає положеннюнестійкої рівноваги, так як при зміщенні частки з положення  з'являється сила, яка прагне видалити її від цього положення.

§ 15. Удар абсолютно пружних і непружних тел

Прикладом застосування законів збереження імпульсу і енергії при вирішенні реальної фізичної завдання є удар абсолютно пружних і непружних тел.

удар (або зіткнення) -це Зіткнення двох або більше тіл, при якому взаємодія триває дуже короткий час. Крім ударів в прямому сенсі цього слова (зіткнення атомів або більярдних куль) сюди можна віднести і такі, як удар людини про землю при стрибку з трамвая і т. Д. Сили взаємодії між стикаються тілами (ударні або миттєві сили) настільки великі, що зовнішніми силами, що діють на них, можна знехтувати. Це дозволяє систему тел в процесі їх зіткнення наближено розглядати як замкнуту систему і застосовувати до неї закони збереження.

Тіла під час удару зазнають деформацію. Сутність удару полягає в тому, що кінетична енергія відносного руху соударяющихся тел на короткий час перетворюється в енергію пружної деформації. Під час удару має місце перерозподіл енергії між соударяющихся тілами. Спостереження показують, що відносна швидкість тіл після удару не досягає свого колишнього значення. Це пояснюється тим, що немає ідеально пружних тіл і ідеально гладких поверхонь. Ставлення нормальні складові відносної швидкості тіл після і так удару називається коефіцієнтом відновлення e:

Якщо для зіштовхуються тел e = 0, то такі тіла називаються абсолютно непружними, Якщо e = 1 - абсолютно пружними. На практиці для всіх тел 0 а можна з великим ступенем точності розглядати або як абсолютно пружні, або як абсолютно непружні.

Пряма, що проходить через точку дотику тіл і нормальна до поверхні їхнього зіткнення, називаєтьсялінією удару. удар називаєтьсяцентральним, якщо тіла до удару рухаються вздовж прямої, що проходить через їх центри мас. Ми будемо розглядати тільки центральні абсолютно пружні і абсолютно непружні удари.

Абсолютно пружний удар - Зіткнення двох тіл, в результаті якого в обох взаємодіючих тілах не залишається ніяких деформацій і вся кінетична енергія, якою володіли тіла до удару, після удару знову перетворюється в кінетичну енергію (підкреслимо, що це ідеалізований випадок).

Для абсолютно пружного удару виконуються закон збереження імпульсу і закон збереження кінетичної енергії.

Позначимо швидкості куль масами т1 и m2 до удару через v1 і v2, Після удару-через и  (Рис. 18). У разі прямого центрального удару вектори швидкостей куль до і після удару лежать на прямій лінії, що з'єднує їх центри. Проекції векторів швидкості на цю лінію рівні модулів швидкостей. Їх напрямки врахуємо знаками: позитивне значення пріпішем руху вправо, отрицатель-ніс - руху вліво.

При зазначених припущеннях закони збереження мають вигляд

 (15.1)

 (15.2)

Провівши відповідні перетворення в виразах (15.1) і (15.2), отримаємо

 (15.3)

 (15.4)

звідки

 (15.5)

Вирішуючи рівняння (15.3) і (15.5), знаходимо

 (15.6)

 (15.7)

Розберемо декілька прикладів.

1. При v2= 0

 (15.8)

 (15.9)

Проаналізуємо вираження (15.8) в (15.9) для двох куль різних мас:

а) т1= т2. Якщо друга куля до удару висів нерухомо (v2= 0) (рис. 19), то після удару зупиниться перший шар ( =0), а другий буде рухатися з тією ж швидкістю і в тому ж напрямку, в якому рухався першу кулю до удару ( );

б) т1т2. Перша куля продовжує рухатися в тому ж напрямку, як і до удару, але з меншою швидкістю ( 1). Швидкість другого кулі після удару більше, ніж швидкість першого після удару ( >  ) (Рис. 20);

в) т1т2. Напрямок руху першої кулі при ударі змінюється-куля відскакує назад. Другий шар рухається в ту ж сторону, в яку рухався першу кулю до удару, але з меншою швидкістю, т. Е. 1 (Рис. 21);

г) т2т1 (Наприклад, зіткнення кулі зі стіною). З рівнянь (15.8) і (15.9) випливає, що = -v1,  »2m1v1/m2»0.

2. При т1=т2 вираження (15.6) і (15.7) матимуть вигляд

т. е. кулі рівної маси «обмінюються» швидкостями.

Абсолютно непружних удар - Зіткнення двох тіл, в результаті якого тіла об'єднуються, рухаючись далі як єдине ціле. Продемонструвати абсолютно непружних удар можна за допомогою куль з пластиліну (глини), що рухаються назустріч один одному (рис. 22).

Якщо маси куль т1 и т2, Їх швидкості до удару v1 і v2, То, використовуючи закон збереження імпульсу, можна записати

де v - швидкість руху куль після удару. тоді

 (15.10)

Якщо кулі рухаються назустріч один одному, то вони разом будуть продовжувати рухатися в ту сторону, в яку рухався куля, що володіє великим імпульсом. В окремому випадку, якщо маси куль рівні (т1=т2), То

З'ясуємо, як змінюється кінетична енергія куль при центральному абсолютно непружного ударі. Так як в процесі зіткнення куль між ними діють сили, які залежать не від самих деформацій, а від їх швидкостей, то ми маємо справу з силами, подібними силам тертя, тому закон збереження механічної енергії не повинен дотримуватися. Внаслідок деформації відбувається «втрата» кінетичної енергії, що перейшла в теплову або інші форми енергії. Цю «втрату» можна визначити по різниці кінетичної енергії тіл до і після удару:

Використовуючи (15.10), одержуємо

Якщо вдаряє тіло було спочатку нерухомо (v2=0), то

коли m2m1 (Маса нерухомого тіла дуже велика), то vv1 і майже вся кінетична енергія тіла при ударі переходить в інші форми енергії. Тому, наприклад, для отримання значної деформації ковадло повинна бути масивніше молотка. Навпаки, при забиванні цвяхів в стіну маса молотка повинна бути набагато більшою (m1m2), тоді v »v1 і практично вся енергія витрачається на якомога більшу переміщення цвяха, а не на залишкову деформацію стіни.

Абсолютно непружних удар - приклад того, як відбувається «втрата» механічної енергії під дією дисипативних сил.

завдання

3.1. Визначити: 1) роботу підняття вантажу по похилій площині; 2) середню і 3) максимальну потужності підйомного пристрою, еслімасса вантажу 10 кг, довжина похилій площині 2 м, кут її нахилу до горизонту 45 °, коефіцієнт тертя 0,1 і час підйому 2 с. [1) 173 Дж; 2) 86 Вт; 3) 173 Вт]

3.2.З вежі висотою 35 м горизонтально кинуто камінь масою 0,3 кг. Нехтуючи опором повітря, визначити: 1) швидкість, з якою кинутий камінь, якщо через 1 с після початку руху його кінетична енергія 60 Дж: 2) потенційну енергію каменю через 1 с після початку руху. [1) 17,4 м / с; 2) 88,6 Дж]

3.3. Нехтуючи тертям, визначити найменшу висоту, з якої повинна скочуватися візок з людиною по жолобу, яке переходить в петлю радіусом 10 м, щоб вона зробила повну петлю і не випала з жолоба. [25 м]

3.4. куля масою m= 10 г, яка летіла горизонтально зі швидкістю v= 500 м / с, потрапляє в балістичний маятник довжиною l= 1 м і масою M =5 кг і застряє в ньому. Визначити кут відхилення маятника. [18 ° 30 ']

3.5. Залежність потенційної енергії частинки в центральному силовому полі від відстані r до центру поля задається виразом П (r) =  , де А и В - позитивні постійні. визначити значення r0, відповідне рівноважного стану частинки. Чи є це положення становищем стійкої рівноваги? [r0=2A / B]

3.6. При центральному абсолютно пружному ударі рухається тіло масою т1 вдаряється об покоїться тіло масою m2, в результаті чого швидкість першого тіла зменшується в n= 1,5 рази. Визначити: 1) відношення m1/ m2; 2) кінетичну енергію Т2 другого тіла, якщо первісна кінетична енергія першого тіла T1= 1000 Дж. [1) 5; 2) 555 Дж]

3.7. тіло масою т1=4 кг рухається зі швидкістю v1= 3 м / с і вдаряється об нерухоме тіло такої ж маси. Вважаючи удар центральним і неупругим, визначити кількість теплоти, що виділилася при ударі. [9 Дж]

глава 4 Механіка твердого тіла

§ 16. Момент інерції

При вивченні обертання твердих тіл будемо користуватися поняттям моменту інерції. моментом інерціїсистеми (тіла) щодо даної осі називається фізична величина, що дорівнюєсумі творів мас л матеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до даної осі:

У разі безперервного розподілу мас ця сума зводиться до інтеграла

де інтегрування проводиться по всьому об'єму тіла. величина r в цьому випадку є функція положення точки з координатами х, у, z.

Як приклад знайдемо момент інерції однорідного суцільного циліндра висотою h і радіусом R щодо його геометричній осі (рис. 23). Розіб'ємо циліндр на окремі порожнисті концентричні циліндри нескінченно малої товщини dr з внутрішнім радіусом r і зовнішнім r+ dr. Момент інерції кожного полого циліндра dJ = r2dm (Так як dr « r, то вважаємо, що відстань всіх точок циліндра від осі дорівнює r), Де dm - маса всього елементарного циліндра; його обсяг 2prhdr. якщо r-щільність матеріалу, то dm =2prhrdr і dJ = 2phrrзdr. Тоді момент інерції суцільного циліндра

але так як pR2h - обсяг циліндра, то його маса m = pR2hr, а момент інерції

Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, що проходить через його центр мас, то момент інерції щодо будь-якої іншої паралельної осі визначається теоремою Штейнера: момент інерції тіла J щодо довільної осі дорівнює моменту його інерції Jc щодо паралельної осі, що проходить через центр мас С тіла, складеного з твором маси т тіла на квадрат відстані а між осями:

 (16.1)

На закінчення наведемо значення моментів інерції (табл. 1) для деяких тіл (тіла вважаються однорідними, т - маса тіла).

Таблиця 1



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Тангенціальна складова прискорення 1 сторінка | Тангенціальна складова прискорення 5 сторінка | Тангенціальна складова прискорення 6 сторінка | Тангенціальна складова прискорення 7 сторінка | Тангенціальна складова прискорення 8 сторінка | Тангенціальна складова прискорення 9 сторінка | Тангенціальна складова прискорення 10 сторінка | Тангенціальна складова прискорення 11 сторінка | Тангенціальна складова прискорення 12 сторінка | Тангенціальна складова прискорення 13 сторінка |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати