загрузка...
загрузка...
На головну

Формування поняття геометричної фігури

  1. II. 6.1. Визначення поняття діяльності
  2. III. санітарно - освітній - формування здорового способу життя.
  3. IV. 15.3. Вольові якості особистості та їх формування
  4. Quot; Техніка ": витоки і еволюція поняття, сучасне трактування
  5. Quot; Господарство ": історична еволюція поняття
  6. V. 18.6. формування здібностей
  7. VI. Суспільно-історична природа психіки людини і її формування в онтогенезі

Історично поняття геометричної фігури, так само як поняття натурального числа, було одним з вихідних понять математики. Як і натуральні числа, поняття геометричної фігури утворилося за допомогою абстракції ототожнення, в основі якої лежить певний стосунок еквівалентності. В даному випадку таким ставленням є «схожість», «подібність» предметів по їх формі, за допомогою якого безліч предметів розбивається на класи еквівалентності так, що будь-які два предмети одного класу мають однакову форму, а будь-які два предмети різних класів - різні форми. Абстрагуючись при цьому від інших властивостей предметів (кольору, величини, матеріалу, з якого вони зроблені, призначення і т. Д.), Ми отримуємо самостійне поняття геометричної фігури.

В математиці надходять і так: клас подібних за формою предметів визначається будь-яким належним йому предметом і називається формою.

У зв'язку з розглядом відносини еквівалентності (глава IV, § 4) було наведено приклад класифікації блоків по їх формі. Вирішуючи цю задачу, діти отримують класи квадратних, круглих, трикутних і прямокутних блоків, потім кожен з цих класів, так само як і окремі їх представники, називаються відповідно квадратом, колом, трикутником, прямокутником. В основі виділення цих понять лежить відношення еквівалентності

«Мати однакову форму».

У вивченні геометрії, і зокрема геометричних фігур,

розрізняють кілька рівнів мислення.

Перший, найпростіший рівень характеризується тим, що геометричні фігури розглядаються як цілі і розрізняються лише по своїй формі. Якщо показати дошкільнику коло, квадрат, прямокутник і повідомити йому відповідні назви, 1 то після деякого часу він зможе безпомилково розпізнавати } ці фігури лише відповідно до їх формі (причому ще не аіаліаіро-ванною), що не відрізняючи квадрат від прямокутника. На цьому рівні квадрат протиставляється прямокутника.

На наступному, другому, рівні проводиться аналіз сприйманих форм, в результаті якого виявляються їх властивості. Геометричні фігури виступають вже як носії своїх властивостей і розпізнаються за цими властивостями, властивості фігур логічно ще не впорядковані, вони встановлюються емпіричним шляхом. Самі фігури також не впорядковані, так як вони тільки описуються, але не визначаються. Цей рівень мислення в області геометрії ще не включає структуру логічного слідування.

© писані вище два рівня цілком доступні дітям 4-6 років, і цю обставину слід враховувати при складанні програм «лучанин і розробці методики.

З чого складається геометрична фігура?

Будь-яка геометрична фігура мається на увазі що складається з точок, т. Е. Будь-яка геометрична фігура являє собою безліч точок, ъ тому числі одну точку теж прийнято вважати

геометричною фігурою.

Тому операції над множинами та відносини між множинами, розглянуті в главі Ш, можна переносити на геометричні фігури як на безлічі точок.

Наприклад, на малюнку 11 зображені -Всілякі відносини, в яких можуть знаходитися квадрат і коло:

/ - Коло знаходиться в квадраті;

- Квадрат знаходиться в колі;

- Квадрат і коло перетинаються;

- Квадрат і коло не перетинаються.

Пропонуючи дітям розташовувати квадрат і коло всілякими способами або намалювати їх і зафарбовувати загальну частину (перетин) певним кольором, тим самим допомагаємо їм виявити особливості кожного з відносин, зображених на малюнку І:

а) всі точки кола є точками -Квадрат;


Мал. 11.

б) всі точки квадрата є також точками кола;

в) квадрат і коло мають загальні і необщие точки;

г) у квадрата і кола немає спільних точок.

На предматематіческом рівні діти знайомляться з найпростішими, але найбільш. поширеними геометричними фігурами: різними лініями, формами блоків - квадратом, колом, трикутником, а також п'ятикутником, шестикутником. Строгих визначень, зрозуміло, на цьому рівні не дається.

§ 2. Види геометричних фігур

Будемо розглядати далі лише ті види найпростіших геометричних фігур, з якими доводиться мати справу в процесі навчання дошкільнят.

Всі геометричні фігури діляться на плоскі і просторові. Так, наприклад, квадрат, коло - плоскі фігури; куб, куля - просторові. Почнемо з розгляду ліній. Під лінією будемо мати на увазі плоску лінію т- лінію, всі точки якої лежать на деякій площині, а сама лінія є підмножина точок площині.

Очевидно, що такі роз'яснення, як «довжина без ширини» або «межа поверхні», не можуть прийматися за точні визначення, так як ми не знаємо точний зміст термінів «довжина», «ширина», «межа», «поверхня» і т . п. По суті в елементарній геометрії поняття лінії вважається інтуїтивно ясним і їх вивчення, зводиться до розгляду різних прикладів: пряма, ламана, крива, замкнута лінія, незамкнута лінія, відрізок і ін.

Пряму лінію, або просто пряму, можна виділити серед інших ліній за допомогою її характеристичних властивостей, т. Е. Таких властивостей, якими володіє тільки пряма і ніякі інші лінії.

На малюнку 12 між деревом і будинком прокладено кілька стежок. На геометричному мові це означає: через дві точки D и С проходить кілька ліній. Пряма виділяється серед них тим, що це - лінія найкоротшої відстані.

 Мал. 13.

Ще одне характеристичне властивість прямої: через дві точки D і С можна провести багато різних ліній, прямих - тільки одну, т. е. через дві точки проходить одна і тільки одна

пряма.

Лінії бувають замкнутими і незамкненими. Наприклад, пряма - незамкнута лінія, окружність - замкнута.

Стосовно прямий дві точки можуть перебувати «по одну сторону» від неї або «по різні сторони». Наприклад, будинок і дерево можуть перебувати по одну сторону від річки і тоді можна дійти від будинку до дерева або назад, не проходячи через міст. Якщо ж вони знаходяться по різні боки від річки, то дійти від будинку до садка або назад, не проходячи через міст, не можна.

На геометричному мові ця ситуація описується следую-

Sf; щим чином. дві точки А до В знаходяться по одну сторону від

прямий /, якщо відрізок, що з'єднує ці точки, не перетинає

пряму / (рис. 13).

Дві точки Л і С (рис. 13) знаходяться по різні боки від прямої /, якщо відрізок Л С, що з'єднує ці точки, перетинає

пряму I.

По суті пряма I розбиває безліч всіх не належать їй точок площини на два класи (два підмножини), звані п про л уплоскост я м і з кордоном /. Це розбиття породжується ставленням еквівалентності, введеним в безліч всіх котрі належать до / точок площині таким чином: дві точки знаходяться в цьому відношенні, якщо відрізок, що з'єднує їх, не перетинає пряму /, і не перебувають в цьому відношенні, якщо цей відрізок перетинає пряму /.

Діти досить рано засвоюють, що означає «всередині» і «поза» деякої замкнутої лінії. Приклад цього - дитяча гра в класи. Щоб успішно переходити з класу в клас, потрібно, стрибаючи і кидаючи біту, точно потрапляти всередину певного класу (квадрата). Перші уявлення про «всередині» і «поза» закріплюються в іграх з обручами (глава III), коли діти зустрічаються зі все ускладнюються ситуаціями

визначення блоків всередині і поза одного обруча, всередині одного і поза іншим обруча, всередині всіх трьох обручів, усередині двох обручів і поза третього і т. п. Тому перед вирішенням завдань, пов'язаних с- класифікацією блоків, або фігур в іграх з обручами необхідно з'ясувати , розпізнають чи діти внутрішню і зовнішню області по відношенню до кожного обруча.

Переведемо тепер ці ситуації на мову геометрії. Інтуїтивно ясно, що будь-яка окружність розбиває безліч всіх не належать їй точок площини на дві області (рис. 14). Якщо дві точки Л і В або D и Е лежать в одній області, то відрізок, що з'єднує їх, не перетинає лінії /; якщо дві точки, наприклад С та D, належать різним областям, то з'єднує їх відрізок перетинає лінію / (в точці К) -

Одна з цих областей називається внутрішньої, інша - зовнішньої. Яким же геометричним властивістю можна охарактеризувати внутрішню або зовнішню область?

Область, яка інтуїтивно приймається за зовнішню, має наступну властивість: можна знайти в цій області дві точки, наприклад D и Е, такі, що пряма, що проходить через них, цілком лежить в цій області. Друга область, яка інтуїтивно приймається за внутрішню, не володіє цією властивістю або характеризується властивістю, що представляє собою заперечення характеристичного властивості зовнішньої області, т. Е. Не можна знайти в ній такі дві точки, щоб пряма, що проходить через них, лежала цілком в цій області ( або, інакше, пряма, що проходить через будь-які дві точки цієї області, обов'язково перетинає лінію /).

Вище ми користувалися поняттям «відрізок» і пов'язували його незмінно з двома точками: «відрізок АВ », «Відрізок, що з'єднує точки Л і В» і т. П. Що ж таке відрізок? Іноді кажуть «частина прямої». Це можна розуміти як підмножина точок прямої. Але яке це підмножина?

Іноді користуються відношенням «між», які можуть застосовуватися до трьох

 Мал. 14.

точкам. Це ставлення відповідає наочному уявленню про точку, що лежить на прямій між двома іншими точками: якщо точка С лежить між точками А и В, то не можна «дійти» по прямій від Л до В, не пройшовши через точку С. Ці наочні уявлення підказують і деякі властивості відносини «між»: якщо точка С лежить між А и В, то С лежить і між У і Л; з трьох точок тільки одна лежить між двома іншими, т. е. якщо С лежить між Л і В, то вже А


не лежить між С і В, а також В не лежить між А і С.

Є дві різні трактування поняття відрізка суті два різних поняття). За однією з них відрізку АВ належать самі точки Л і В (кінці відрізка) і всі крапки прямій АВ, що лежать між А і В. За іншою трактуванні точки А я В не зважають належать відрізку АВ, хоча як і раніше називаються його кінцями (т. е. кінці відрізка не належать

йому).

Ми будемо дотримуватися першої трактування, дидактично

більш доцільною.

Так як через дві точки Л і В проходить єдина пряма АВ, то ці дві точки визначають і єдиний відрізок з

кінцями Л і В.

Знаючи, що таке відрізок, можна уточнити і поняття ламаної

лінії.

Якщо Ль Л2, А',..., А "_ !, Ап - Точки, ніякі послідовні три з яких не лежать на одній прямій, то лінія, що складається з відрізків Л1Л2, Л2Л3, ..., ЛП- | Л ", називається ламаною лінією, ці відрізки називаються ланками ламаної, а точки Ль А', Аг, ..., Ап \, Л "- її вершинами, точки А \ и Ап називаються також кінцями ламаної.

Якщо кінці ламаної збігаються, то ламана називається з а м к-н у т о м, в іншому випадку - «е замкну тієї (строгі визначення замкнутої і незамкненою кривої лінії в елементарній

геометрії не даються).

На малюнку 15, 1 зображена замкнута ламана лінія, на

малюнку 15,2 - незамкнута.

Як і будь-яка замкнута лінія, замкнута ламана лінія розбиває безліч котрі належать до їй точок площини на дві області - внутрішню і зовнішню.

Серед ламаних ліній виділяють прості (без самоперетинів) ламані лінії, т. Е. Такі, які самі себе не перетинають.

Зображені на малюнку 15 ламані лінії прості. на

Р «с. 15

малюнку 16, /, 2 зображені непрості, самі себе перетинають ламані лінії.

Перейдемо тепер до розгляду багатокутників. Є два основні підходи, по суті визначають різні поняття: відповідно до одного з них під многоугольником розуміють просту замкнену ламану лінію, згідно з другим - просту замкнену ламану разом з її внутрішньою областю або об'єднання простий замкнутої ламаної і її внутрішньої області.

Згідно з першою трактуванні модель багатокутника, наприклад, можна виготовити з дроту, по другий - вирізати з паперу. Яка ж з двох трактувань більш доцільна з дидактичною точки зору? (З логічної точки зору обидві трактування коректні і мають право на існування.) Для маленьких дітей більш природним є називати квадратом, трикутником і т. Д. Саме ту фігуру, яку вони зафарбували і вирізали, т. Е. Ламану разом з її внутрішньою областю . Тому видається, що і для школи друга трактування є більш доцільною.

Багатокутники класифікуються за кількістю сторін або кутів: трикутники, чотирикутники, п'ятикутник, шестикутники і т. Д. Спостерігаючи різні багатокутники, можна виявити наявність або відсутність властивості, званого опуклістю.

На малюнку 17 зображені багатокутники, що володіють (у випадках /, 2, 4, 6) і що не володіють (у випадках 3, 5, 7) цією властивістю.

 Мал. 16.

Як же геометрично описати це інтуїтивно ясне властивість? Будь-який з багатокутників у випадках /, 2, 4, 6 (Рис. 17) розташований по одну сторону від прямої, проведеної через кожну його сторону, т. Е. Якщо продовжити будь-яку сторону, отримана прямо не перетне багатокутник (з цією метою на малюнку боку цих багатокутників продовжені пунктиром). У кожному з багатокутників у випадках 3, 5, 7 існує хоча б одна така сторона, продовження якої перетинає багатокутник. Перші називаються опуклими, другі - неопуклого. '


Мал. 17.

Трикутник, квадрат, прямокутник - опуклі чотирикутники. П'ятикутна зірочка - неопуклих десятіугольнік.

Сторони, включаючи вершини, багатокутника, т. Е. Замкнута ламана, утворюють кордон багатокутника. Це інтуїтивно ясне поняття. Наприклад, інтуїтивне уявлення про кордон фігури готує дітей до географічного поняття кордону.

Чим же відрізняється гранична точка, т. Е. Точка, що належить кордоні, від внутрішньої точки багатокутника (і взагалі фігури)? Як ця різниця описати геометрично?

З цією метою введемо поняття околиці точки. Під околицею точки А будемо розуміти коло будь-якого радіусу з центром в точці А. Тепер, користуючись цим вельми наочним поняттям, опишемо відмінність між внутрішньою і граничної точками багатокутника.

Для будь-якої внутрішньої точки А, як би близька вона не була до кордону, завжди можна знайти околиця, всі крапки якої внутрішні (рис. 18, 1,2).

Для граничної точки В немає такої околиці, т. е. яку б околиця точки В ні взяли, всередині її знайдуться як внутрішні, так і зовнішні точки. Такими ж властивостями володіють внутрішні і граничні точки на географічній карті, що представляє собою деяку геометричну фігуру.

Наприклад, на географічній карті СРСР для будь-якої рис. 18.


 
 

 VII. ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ВИМІР

 глава

       
     
     
     
       
       
       
       
       
       

внутрішньої точки можна знайти околиця, всередині якої всі точки належать території СРСР. Для будь-якої точки на кордоні СРСР такий околиці немає, т. Е. В будь-який околиці такої точки знайдуться як точки, що належать СРСР, так і точки, що належать сусідньої держави.

Серед форм використовуваних нами блоків (або фігур), крім трикутника, квадрата, прямокутника, є і коло. Крім того, багато предметів, з якими зустрічаються діти (тарілки, блюдця, колеса велосипеда і ін.), Мають круглу форму. Вважаємо недоцільним для дошкільнят вводити термін «окружність».

У елементарної геометрії коло визначається як безліч (або геометричне місце) всіх точок площини, віддалених від деякої точки, званої центром, на відстань, що не перевищує R (/? Радіус кола); окружність визначається аналогічно як безліч всіх точок площині, віддалених від точки, званої центром, на один і той же відстань R.

 Мал. 19.

Зауважимо, що якщо в цих формулюваннях слово «площину» замінити словом «простір», то отримаємо визначення кулі та сфери, відповідно просторових аналогів кола та кола. Коло, окружність, кулю і сферу можна визначити і генетично, т. Е. Описом процесу освіти цих фігур. Цей процес легко змоделювати: якщо відрізок зафіксувати в одному кінці і обертати його біля цього кінця, то він опише коло, а другий його кінець - окружність. Якщо півколо обертати близько діаметра, то він опише куля, а обмежує його півколо - сферу.

Дошкільнята знайомляться також з одним з найпростіших багатогранників, яким є куб.

Куб - просторовий аналог квадрата. Він обмежений шістьма квадратами. Його можна сконструювати (склеїти) з плоскої фігури викрійки, зображеної на малюнку 19.

Ознайомлення дітей з описаними вище найпростішими геометричними фігурами є пропедевтичної основою для подальшого формування та розвитку у них геометричних, в тому числі просторових, уявлень.


 



Попередня   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   Наступна

Розбиття множини на класи | Відносини між двома множинами | Декартово твір множин | бінарні відносини | властивості відносин | ставлення еквівалентності | ставлення порядку | Виникнення поняття натурального числа | Основні ідеї кількісної теорії натуральних чисел | Основні ідеї порядкової теорії натуральних чисел |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати