загрузка...
загрузка...
На головну

Характеристичне властивість безлічі

  1. Річ - властивість - відношення
  2. Річ, властивість, відношення
  3. Обчислення безлічі точок подвоєння заданої еліптичної кривої.
  4. Ієрархічність - властивість системи переказу
  5. Комбінації дій з множинами
  6. Лінійна модель парної регресії. Метод найменших квадратів (МНК). Властивість оцінок МНК.
  7. безлічі

Будь-яке властивість можна розглядати як приналежність його деяких предметів.

Наприклад, властивість «бути червоним» мають деякі квіти, ягоди, автомашини та інші предмети. Властивістю «бути круглим» мають місяць, м'яч, колеса велосипедів і автомашин, деталі різних машин і верстатів і ін.

Таким чином, з кожним властивістю зв'язується безліч (предметів), що володіють цією властивістю. Кажуть також, що безліч характеризується даними властивістю, або безліч задано зазначенням характеристичного властивості.

Під характеристичним властивістю безлічі розуміють таку властивість, яким володіють всі предмети, що належать цій множині (елементи цієї множини), і не володіє жоден предмет, що не належить йому (який не є його елементом).

Іноді властивість ототожнюється з безліччю предметів, що характеризується цією властивістю. Говорячи «круглий», ми одноврег Саме мислимо про безліч всіх круглих предметів.

Якщо деякий безліч А задано зазначенням характеристичного властивості Р, то це записується в такий спосіб:

А = \ х \ Р (х))

і читається так: «А - Безліч всіх х таких, що х має властивість Р », або, коротше,« Л - безліч всіх х, що володіють властивістю Р ». Коли говорять: «безліч всіх предметів, що мають властивість Р», маються на увазі ті і. тільки ті предмети, які володіють цією властивістю.

Таким чином, якщо безліч Л задано характеристичним властивістю Р, то це означає, що воно складається з усіх предметів, що володіють цією властивістю, і тільки з них. Якщо який-небудь предмет а має властивість Р, то він належить множині Л і, навпаки, якщо предмет а належить множині Л, то він

має властивість Р.

Пропозиція «предмет а належить множині Л », або« перед-мет а - Елемент безлічі Л », позначається коротко «А ^ А». Пропозиція «предмет а має властивість Р »-« Р (а) ». Ці дві пропозиції р а в н о с і л ь н и, т. Е. Висловлюють одну й ту ж думку в різній формі, перше - на мові множин, друге - на мові властивостей. Висловлювання, що виражаються цими двома пропозиціями, одночасно істинними чи хибні: істинні, якщо предмет а дійсно належить множині Л (володіє властивістю Р), помилкові в іншому випадку. Для позначення равносильности двох пропозицій застосовується знак о.

Таким чином, якщо А = {х \ Р {х) \, то пишуть: а ^ Аор (а). Наприклад, якщо А - Безліч дітей, які живуть на Ленінському проспекті, то пропозиції «Саша живе на Ленінському проспекті» і «Саша належить множині дітей, що живуть на Ленінському проспекті» (хоча так зазвичай не говорять) рівносильні. Вони висловлюють щирі висловлювання, якщо Саша, про який йде мова в них, дійсно живе на Ленінському проспекті, і неправдиві висловлювання в іншому випадку.

Пропозиція Р (х), т. е. «* має властивість Р>, наприклад живе на Ленінському проспекті », або« ... живе на Ленінському проспекті », не виражає висловлювання, так як воно містить« порожнє місце »(змінну) і безглуздо задавати питання, істинно воно або помилково. Воно звертається в висловлювання істинне або помилкове, якщо замість змінної (на порожнє місце) поставити яке-небудь її значення. Така пропозиція з порожнім місцем (змінної), яке може звертатися в істинне або помилкове висловлювання, називається в и с ь к а-зивательной формою або предикатом.

Говорячи в подальшому «пропозицію», будемо мати на увазі висловлювання (т. Е. Оповідної пропозицію без порожніх місць), або предикат

Наприклад, пропозиції 2 + 2 = 4, 2 + 2 = 5, 3 <5, 6 <5 - висловлювання, причому перше і третє - істинні висловлювання, друге і четверте - помилкові, пропозиції ж 2 + х = 5, або 2 + ... = 5, і х <5, або ... <5, - ??предикати, які звертаються в істинні чи хибні висловлювання лише при підстановці замість змінної х (На порожнє місце) якого-небудь її значення. Такі предикати використовуються при навчанні маленьких дітей в завданнях типу: «Яке число треба поставити на порожнє місце, щоб те, що вийде, було вірно?» Природно, що деяким властивістю може володіти безліч предметів, іншим - лише кінцеве безліч. Тому безлічі поділяються на кінцеві і нескінченні (в главі V ми повернемося до цього питання).

Кінцеве безліч може бути задано інепосредственни перерахуванням всіх його елементів в довільному порядку. Наприклад, безліч дітей, які живуть на Ленінському проспекті, може бути задано описом за допомогою характеристичного властивості:

ix | х -жівет на Ленінському проспекті} -

або ж перерахуванням всіх його елементів в довільному порядку: {Лена, Саша, Вітя, Іра, Коля}.

Цілком зрозуміло, що безліч можна задати перерахуванням всіх його елементів.

Математика в більшій мірі має справу з нескінченними множинами (числа, точки, фігури та інші об'єкти), але основні математичні ідеї і логічні структури можуть бути змодельовані на кінцевих множинах. В такому випадку істинність пропозиції виражає загальне властивість елементів кінцевого безлічі (всі елементи множини А мають властивість Р) або існування елемента, що володіє певним властивістю (існує елемент безлічі М, що володіє властивістю Р), може бути встановлена ??безпосередньою перевіркою. Якщо ж ця пропозиція отримано логічним шляхом, то перевірка підтверджує (або спростовує) правильність міркування, за допомогою якого

воно отримано.

Природно, що в предматематіческоі підготовці зазвичай мають справу з кінцевими множествамі.Елементамі безлічі можуть бути найрізноманітніші предмети будь-якої природи, як конкретні (рослини, тварини, предмети побуту і т. Д.), Так і абстрактні (числа, геометричні фігури, відносини і т. д.), або зображення таких об'єктів. Найчастіше ми будемо користуватися множинами, елементами, яких є знайомі дітям предмети або їх зображення. При цьому зображення пташки так і будемо називати пташкою, зображення дерева деревом і т. П. Ми будемо також користуватися спеціальним дидактичним матеріалом.

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Частина друга | Підмножина. Доповнення безлічі і заперечення пропозиції | Перетин множин і кон'юнкція пропозицій | Об'єднання множин і диз'юнкція пропозицій | Розбиття множини на класи | Відносини між двома множинами | Декартово твір множин | бінарні відносини | властивості відносин | ставлення еквівалентності |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати